L2(G) uzayında polinomlarla yaklaşım

Abstract

Genel olarak L2(G) uzayında polinomlar ile yaklaşımı inceleyen bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde temel tanımlar, teoremler ve kullanılan gösterimler verilip, yaklaşımın incelendiği L2(G) uzayı tanımlanmıştır. Ayrıca bazı fonksiyon sınıflarının tanımlan verilmiştir. İkinci bölümde, bir bölge üzerinden alınan Lebesgue integralin bilinen Riemann integrali yardımıyla ifade edilebileceği gösterilip L2(G) uzayının bir Hubert uzayı olduğu ispatlanmıştır. Üçüncü bölümde ortanormal ve tam ortanormal sistem tanımları verilip polinomlarla yaklaşımın mümkün olduğu bölgeler ( PA ) tanımlanıp PA özelliğine sahip bölgelere örnekler verilmiştir. Her Caratheodory bölgesinin PA özelliğine sahip olduğu ispatlandıktan sonra PA özelliği olmayan basit bağlantılı bölgelerden kesik bölge ve ayvari bölge incelenmiştir. Ayvari bölgenin PA özelliğine sahip olma ve olmama koşullan araştınlmıştır. Dördüncü bölümde Hubert uzaylannda ON sistemlere göre seri açılımı ile ilgili kofullar belirtildikten sonra özel olarak L2(G) uzayında ON seri açılımı incelenmiştir. ON sistem tam ise L2(G) uzayından bir fonksiyonun düzgün yakınsak ON seri açılımının var olduğu ispatlanmıştır. Daha sonra G de analitik bir fonksiyonun G da düzgün yakınsak ON seri açılımının varlığı, dG sınırının Jordan eğrisi ve ON sistemin G nin ON Pj, J^O, I, 2, 3,... polinomlar sistemi olması koşullan altında gösterilmiştir. Beşinci bölümde kvazi-konform sınıra sahip bir G bölgesinde tanımlı A/G,ooİ) ağırlıklı Bergman uzayından bir fonksiyon için genelleştirilmiş Faber polinomları tanımlanıp, bunun yaklaşım özellikleri araştınlmıştır. A (G,co) uzayında bir fonksiyonun genelleştirilmiş Faber serisine açılımının kompakt altkümelerde düzgün yakınsak olduğu ispatlanıp genelleştirilmiş Faber serisinin teklik problemi incelenmiştir. Bu bölümde son olarak bir / fonksiyonunun genelleştirilmiş Faber serisinin kısmi toplamının/ ye A2(G) normunda yaklaşım hızı değerlendirilmiştir. ANAHTAR SÖZCÜKLER : PA özelliğine sahip bölge / Caratheodory bölgesi / ortanormal sistem / ağırlıklı Bergman uzayı / yaklaşım hızı / kvazi-konform eğri / sınıra göre kvazi-konform yansıma / genelleştirilmiş Faber polinomu. ıı

This work in which generally concerns approximation by polinomials in L2(G) spaces, consist of five chapters. In the first chapter, basic definitions, theorems and notations which are used through in this work are given, the L2(G) spaces in which the approximation is studied are defined. Also definitions of some function classes are given. In the second chapter, the Lebesgue integral which is taken over any domain will be able to be expressed by the help of familiar Riemann integral is demonstrated after that it is proved that L2(G) is a Hubert space. In the thirth chapter definitions of orthanormal and complete orthanormal systems are given, after that, domains in which have got possibility to approximation by polinomials ( polinomial approximation ) are defined and various examples are given about domains which have the PA property. It is proved that every Caratheodory domains to have the PA property. After that simply connected Slit and Moon-shaped domains which have not PA property, are investigated. Conditions on the PA property of the moon-shaped domains that whether they have or not, are investigated, respectively. In the fourth chapter, first, conditions on expansion with respect to ON systems for functions in L2(G) spaces are investigated. If ON system is complete then for any function in L (G) spaces, existence of uniformly convergent series expansion with respect to this system is proved. After that, for any function which is analitic in G, under the circumstences that dG boundary is Jordan curve and Pj, y=0, /, 2, 3,... is ON polinomials of domain G, existence of uniformly convergent series expansion with respect to this ON system are demonstrated. In the fifth chapter, the generalized Faber polinomials for the functions in A2(G,co) weighted Bergman spaces are defined and their approximation properties are investigated. For any function in A2(G,(o) the expansion of generalized Faber series have been uniformly convergent on compact subsets of the domain G is proved and uniqueness problem of the generalized Faber series expansion is investigated. Finally in this chapter, for partial sum of the generalized Faber series of any function / rate of convergence to/with the A2(G) norm is evaluated. KEY WORDS : domain which have the PA property / Caratheodory domain / orthanormal system / weighted Bergman space / rate of convergence / quasi- conformal curve / quasi-conformal reflection across to a boundary / generalized Faber polinomials. m