Sonsuz ince ve mükemmel iletken dairesel halkadan skaler dalga saçılması

Abstract

Tezin amacı, sonsuz incelikte dairesel halka biçimindeki bir yapıdan skaler dalga saçılmasına ilişkin sınır değer probleminin çözümü için matematiksel olarak güçlü ve sayısal olarak etkin olan yeni bir yöntemin uygulanmasıdır. Yöntem, G. Ya. Popov' un önerdiği [1,2] ortogonal polinomlar yöntemi ve Y. A. Tuchkin'in makalelerinde [3,4,10] ele alınan analitik regülerleştirme yönteminin birlikte kullanılmasına dayanmaktadır. Kullanılan regülerleştirme işleminin sonucunda, başlangıç sınır değer problemi eşdeğer olarak (I+H)x = b biçiminde, karesi toplanabilir dizilerin uzayı I 2 Me ikinci türden sonsuz bir lineer cebir denklem sistemine indirgenebilmektedir. Bu denklem sistemi ise sayısal olarak kesme yöntemi kullanılarak istenen doğrulukta çözülebilmektedir. Silindirik bir cismin eksenel simetrili biçimde uyarıldığı yani gelen dalganın düşey magnetik dipol alanı biçiminde olduğu en basit halde Dirichlet sınır koşulu altında sözkonusu kırınım problemi aşağıdaki biçimde bir denkleme indirgenebilir: J ln(w - v)z(y)dv + j K(u,v)z(v)dv = /(«), u e [-1,1] Burada z(v) bilinmeyen fonksiyondur ve ikinci integral terimi ise birincisine oranla daha düzgün bir çekirdeğe sahiptir. Herhangi bir uyarma altındaki eksenel simetrili silindirik bir sisteme ilişkin problem özdeşleyin yukarıda sunulan tipteki denklemlerin oluşturduğu bir sisteme indirgenebilir. Kullanılan yöntemin ilk adımı, bilinmeyen fonksiyonların ve çekirdeklerin Chebyshev polinomlarının oluşturduğu sonsuz seriler biçiminde ve yukarıdaki denklemin sol tarafındaki ilk integraloperatöre ilişkin ters operatörün de analitik olarak ifade edilmesinden ibarettir. İkinci adım ise bu biçimde elde edilen fonksiyonel denkleme ait iki yanlı regülerleştirme çarpanını n oluşturulmasıdır. Sonuçta, başlangıçtaki problem özdeşleyin l2 uzayında (J + H)x = b, x,bel2, biçiminde ikinci türden bir denkleme indirgenmektedir. Burada I ve H sırasıyla birim ve kompakt operatörlerdir. Tezin sonunda verilen sayısal sonuçlar yöntemin verimli, sayısal kararlılığa sahip ve sözkonusu sınıfa ait kırınım problemleri için güvenilir olduğunu göstermektedir.

A new strong mathematically rigorous and numerically effective method for solving a boundary value problem of scalar wave diffraction by an infinitely thin circular ring screen is proposed. The method is based on the combination of the Orthogonal Polynomials Approach, running back to the G. Ya. Popov's papers (see, for example, [1,2]), and on the ideas of the methods of analytical regularization [3,4,10] - As a result of the suggested regularization procedure, the initial boundary value problems equivalently reduced to the infinite system of the linear algebraic equations of the second kind, i.e. to an equation of the type (I + H)x = b in the space l2 of square summable sequences. This equation can be solved numerically by means of truncation method with, in principle, any desired accuracy. In the simplest case of axially symmetrical excitation of one cylindrical obstacle, the diffraction problem under consideration can be reduced to the equation of the form: i i J ln(w - v)z(y)dv + J K(u,v)z(y)dv = f(u), u e [-1,1] -1 -1 with unknown function z(v), where second integral term has more smooth kernel in comparison with first one; in the case of Dirichlet boundary condition, when incident wave is of type like the field of vertical magnetical dipole. For the axially symmetrical system of the cylindrical screen with arbitrary excitation, the corresponding problem can be equivalently reduced to the system of equations of the type above. The first step of our method is based on the representation of unknown functions and kernels as infinite series involving theChebyshev' s polynomials and on analytical construction of the inverse operator to the first integral operator in the left hand side of the equation above. The second step is construction of the two-sided regularizator of thus obtained functional equation. As a result, initial problem is equivalently reduced to the equation of the second kind in l2 of the form (I + H)x = b, x,bel2, where / and H are identical and compact operators respectively. Numerical results given at the end of this thesis show that the method is efficient, numerically stable and reliable for considering type of diffraction problems.