2 ve 3 boyutlu uzayda mükemmel iletken yüzeyleri oluşturduğu bir sınır kümesinden analitik regülerleştirme yöntemi ile e-kutuplu dalgaların saçılmasının incelenmesi

Abstract

Bu çalışmada amaç, 2 boyuttaki ve özel bir durum için 3 boyuttaki, açık veya kapalı parametrik eğriler aracılığı ile sınırları belirlenebilen ve Dirichlet sınır koşulunu sağlayan yüzeylerden oluşabilecek sınır kümesinden homojen Helmholtz denklemini sağlayan dalgaların saçılmasının incelenmesidir. Ele alınan sınır koşulu akustik bakımdan yumuşak bir yüzeyi, elektromagnetik bakımdan ise sınır eğrisinin oturduğu düzleme dik yöne TM (transverse magnetic ? dik manyetik) kutuplu dalgaların saçıldığı mükemmel iletken bir yüzeyi modellemek için kullanılır. Probleme ilişkin sınır değer probleminin çözümünde homojen Helmholtz denkleminin çözümü olan boş uzay Green fonksiyonunun kullanıldığı saçılan alana dair integral gösterilim kullanılmıştır. Bu integral gösterilimin, sınırlarda Dirichlet koşulunu sağlayacak biçimde yazılması ve uygun Galerkin yöntemi ile ayrık bir sistem haline getirilmesi ile oluşan Ax=b biçimindeki birinci türden lineer denklem sistemine analitik regülerleştirme yöntemi uygulanmıştır. Bu sayede sistem, baştaki sınır değer problemine denk olan I birim ve H l2'de kompakt bir operatör olacak biçimde (I+H)y=g, y,g ? l2 biçimindeki ikinci türden bir lineer denklem sistemine indirgenmiştir. Böylece elde edilen bu sistem sayısal kesme yöntemi ile istenen doğrulukta çözülebilir.Ele alınan 2 ve 3 boyuttaki iki probleme dair sınır integral denklemi Dirichlet sınır koşulu içinşeklindeki kanonik denkleme indirgenebilmektedir. Burada L( ? , ? ) integral denklem çekirdeğinin en baskın tekilliği olan logaritmik bir fonksiyondur. K( ? , ? ) fonksiyonu çekirdeğin düzgün, ilk türevleri sürekli ve ikinci kısmi türevleri de kareleri integrallenebilir olan kısmını ifade etmektedir. z( ? ) ise bilinmeyen terim olup kırınım problemlerinde yüzey akımını temsil etmektedir.Yüzeylerdeki akım yoğunluğu, bu yüzeylerden saçılan alanın varlığındaki yakın ve uzak alan dağılımı ve çözülen ikinci türden lineer denklem sistemine ait ters almaya karşı duyarlılık tezde ele alınan yüzeyler için sayısal sonuçlar bölümünde grafikler ile verilerek yöntemin yararları hakkında bilgi verilmektedir.

The objective of this study is the investigation of scattering of waves satisfying homogenous Helmholtz equation in 2 dimensional and in a specific case of 3 dimensional space. The scattering under consideration is from a set of obstacles, boundaries of which are determined either by closed or by unclosed parametrized contours and satisfying Dirichlet boundary condition. The boundary condition under consideration corresponds to soft surfaces in acoustics and TM polarized to the normal direction of the surface that boundary contour lies, in Electromagnetics. Solution of the relevant boundary value problem is performed by using the integral representation of the scattering field which satisfies homogenous Helmholtz equation. This representation is treated under Dirichlet boundary condition and the integral equation is discretized by relevant Galerkin method and a linear algebraic system of the first kind Ax=b is obtained. After analytical regularization of this system, an equivalent linear algebraic system of the second kind where I is unit and H is compact operator in l2 , (I+H)y=g, y,g ? l2 is the final system which the physical boundary value problem is reduced to. Thus, solution of such a system by truncation can be obtained ?in principle ? with arbitrary required accuracy.The two cases in 2 D and 3 D under consideration both are representable by the following canonical integral equation written under Diriclet boundary condition:Here L( ? , ? ) is the most dominant singularity of the integral equation kernel which is a logarithmical function. K( ? , ? ) from other side is more smooth function with first derivatioves continous and partial secıond derivatives are square integrable. z( ? ) is the unknown function for the current density on the boundaries.The current density distributions on the boundaries, the near and far scattered fields from these boundaries, and condition numbers of the linear algebraic system of the second kind that are solved are depicted in the numerical results section to verify the benefits of using the applied method.