Generalized monotone iteretative technique with initial time difference for fractional order differential equations

Abstract

Bu tez çalışmasında, ilk olarak kesirli analizin tarihsel geçmişi, bazı temel fonksiyonları, klasik analize sağladığı üstünlükler ile birlikte Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville ve Caputo kesirli türev ve integralleri tanımlanıp bu yaklaşımlar arasındaki geçişlerden bahsedildi. Ayrıca farklı türden kesirli basamaktan türev ve integral tanımları hakkında bazı temel tanım, teorem ve sonuçlar üzerinde duruldu. Alt ve üst çözümler tekniği yardımıyla başlangıç zaman farklı verilen eşlenmiş alt ve üst çözümler için karşılaştırma ve varlık teoremleri ispatlandı. Genelleştirilmiş monoton iteratif teknikte ise diferensiyel denklemler teorisinde alt ve üst çözümler metodu yardımıyla çeşitli biçimlerdeki eşlenmiş alt ve üst çözümler için verilen başlangıç değer probleminin maksimal ve minimal (ekstremal) çözümlerine düzgün ve monoton olarak yakınsayan monoton fonksiyon dizileri elde edilmektedir. Esas olarak bu çalışmada alt ve üst çözümü başlangıç zaman farklı seçilen lineer olmayan kesirli basamaktan diferensiyel denklem için genelleştirilmiş monoton iteratif teknik uygulanmış ve literatürdeki bu konuyla ilişkili bazı çalışmalar genelleştirilmiştir.

In this thesis, we first give a brief historical information of fractional calculus as well as fundemantal functions and comparisons of advantages to the calculus with classical integer order derivatives. In addition, we introduce some popular definitions of fractional calculus such as Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville and Caputo and demonstrate the relations between these concepts. Some basic theorems related to various types of fractional derivatives and integrals are discussed. Comparison and existence results are proved by using the technique of lower and upper solutions in terms of given initial time different coupled lower and upper solutions. Then, in main section, the generalized monotone iterative technique, which offers monotone sequences that converge uniformly and monotonically to the extremal solutions of the given nonlinear problem are employed for fractional differential equations by choosing coupled upper and lower solutions with initial time differences. The obtained results naturally include some published results related to this topic as special cases.