Local fields in number theory

Abstract

SAYILAR TEORİSİNDE LOKAL CİSİMLER Savaş TOSUN Yüksek Lisans Tezi, 1 999 Tez Danışmanı: Prof. Dr. Barış KENDİRLİ Anahtar Kelimeler: Değerlendirme, Q'nun Asal Bölenleri, Norm, p-adik Sayı Cismi, Kalıntı Cismi, Lokal Cisim. ÖZET Genel bir girişten sonra, tezim bir cismin değerlendirmesi (valuasyonu) tanımı ile başladı ve bu değerlendirmenin özelliklerinden bahsedildi. Sonra Rasyonel Sayı Cismi Q'nun çeşitli değerlendirmeleri belirlendi ve bunların genişlemeleri çalışıldı. Ek olarak, çalışmamda, Q'nun üzerinde tanımlanan değerlendirmeye göre tamlanışı ve bunun cebirsel kapanışı üzerinde duruldu. Özellikle, Q'nun p-adik tamlanışı olan Qp belirlendi ve p-adik sayılar ve bunların Sayılar Teorisi'ndeki kullanışları tartışıldı. Tezin son bölümünde, p-adik analizin bazı temel fikirlerini geliştirmek için p-adik Sayı Cismi'nin bazı uygulamaları ve çeşitli örnekler verildi.

IV LOCAL FIELDS IN NUMBER THEORY Savaş TOSUN M.S. Thesis, 1999 Thesis Supervisor: Prof. Dr. Barış KENDİRLİ Keywords: Valuation, Prime Divisors of Q, Norm, p-adic Number Field, Residue Class Field, Local Field. ABSTRACT After a general introduction, my thesis started with the definition of a valuation on a field and the features of this valuation were explained. Then, some valuations of the Rational Number Field Q were defined and the extensions of these valuations were studied. In addition, in my thesis, it was focused on the completion of Q with respect to the valuation defined on it and the algebraic closure of the completion. Especially, the p-adic completion of Q, namely Qp was determined and p-adic numbers and their usage in Number Theory were discussed. In the last section of the thesis, some applications of p-adic Number Field and some examples were given to develop some basic ideas of p-adic analysis.