On the fine spectrum of the generalized difference operator defined by a double sequential band matrix over some sequence spaces

Abstract

Bu çalışmada; alt ve üst üçgen matrisleriyle temsil edilenoperatörlerin bazı dizi uzayları üzerindeki spektrumları, Goldbergsınıflandırmasına göre incelenmiştir.Birinci bölümde; metrik uzaylar, normlu uzaylar ve lineerdönüşümlerin tanımı verilerek özelliklerinden bahsedilmiştir.Ayrıca, bölümün ikinci kısmında spektrum konusu ele alınarak,konuyla ilgili bazı temel tanım ve kavramlar verilmiştir.İkinci bölümde; $/ell_{p}$ dizi uzayı üzerinde$B(/widetilde{r},/widetilde{s})$ ikili dizi band mattrisi iletanımlanan operatörün ince spektrumu incelenmiştir. Ayrıca buoperatörün $/ell_{p}$ dizi uzayı üzerindeki spektrumu Goldbergsınıflandırmasına göre verilmiştir.Üçüncü bölümde; asli köşegeninde $/widetilde{r}=(r_{k})$ ve onaparalel ikinci köşegeninde $/widetilde{s}=(s_{k})$ dizilerininterimlerini ihtiva eden $A(/widetilde{r},/widetilde{s})$ üst üçgenmatris $c_{0}$, $c$, $/ell_{/infty}$ ve $/ell_{p}$ dizi uzaylarıüzerindeki ince spektrumu incelenmiştir.Dördüncü bölümde; $A(r,s,t)$ üst üçgengen üçlü-band matrisinin$/ell_{p}$, $c_{0}$ ve $c$ dizi uzayları üzerindeki spektrumuGoldberg sınıfladırmasına göre incelenmiştir. Ayrıca, Teoplizmatrisleriyle ilgili bazı uygulamalar yer verilmiştir. Buçalışmalara ilave olarak artık spektrum, nokta spektrum, süreklispektrumdan farklı olan ve ayrık olmak zorunda olmayan diğer altspektrum sınınflarının tanımları verilerek, spektrumu verilenmatrislerin alt spektrum sınıfları incelenmiştir.

In this dissertation the spectrum and the fine spectrum of thegeneralized difference operator $B(/widetilde{r},/widetilde{s})$defined by a double sequential band matrix, the generalizeddifference operator $A(/widetilde{r},/widetilde{s})$ defined by anupper double sequential band matrix and the operator generated bythe triple band matrix $A(r,s,t)$ acting on the sequence spaces$/ell_{/infty}$, $c_{0}$, $c$, $/ell_{p}$ with respect to the Goldberg's classification are determined, where $1/leq p</infty$.In chapter 1, the required definitions and basic properties ofmetric space, normed space and linear operator introduced byspectral theory are discussed. In this chapter, some basic conceptsrelated to the subject of spectrum are given by taking that subjectinto consideration. Also, the definition of some sequence spaces isintroduced and definitions and theorems related to matrixtransformations are given in the first chapter.In chapter 2, we determine the spectra of the operator$B(/widetilde{r},/widetilde{s})$ defined by a double sequential bandmatrix acting on the sequence space $/ell_{p}$ with respect to theGoldberg's classification. Additionally, we give the approximatepoint spectrum, defect spectrum and compression spectrum of thematrix operator $B(/widetilde{r},/widetilde{s})$ over the space$/ell_{p}$ where $1<p</infty$.In chapter 3, we study the fine spectrum of the generalizeddifference operator $A(/widetilde{r},/widetilde{s})$ defined by anupper double sequential band matrix acting on the sequence spaces$c_{0}$, $c$ and $/ell_p$ with respect to Goldberg's classification.Additionally, we give the approximate point spectrum, defectspectrum and compression spectrum of the matrix operator$A(/widetilde{r},/widetilde{s})$ over the spaces $c_{0}$, $c$ and$/ell_{p}$ together with a Mercerian Theorem, where $0<p</infty$.In chapter 4, we determine the fine spectra of upper triangulartriple-band matrix over the sequence spaces $/mu$. The operator$A(r,s,t)$ on the sequence space $/mu$ is defined$A(r,s,t)x=(rx_{k}+sx_{k+1}+tx_{k+2})^{/infty}_{k=0}$, where$x=(x_k)/in /mu /in/{ /ell_{p},c,c_{0}/}$ with $0<p</infty$. In thischapter, we obtain the results on the spectrum and point spectrumfor the operator $A(r,s,t)$ on the sequence space $/mu$. Further,the results on continuous spectrum, residual spectrum and finespectrum of the operator $A(r,s,t)$ on the sequence space $/mu$also derive. Further, we give the approximate point spectrum, defectspectrum and compression spectrum of the matrix operator $A(r,s,t)$over the space $/mu$ and give some applications.