İki ve üç boyutlu lie cebirleri

Abstract

Bu çalışmada 2 boyutlu ve 3 boyutlu Lie cebirleri ele alınmıştır. Bunun için 2boyutlu ve 3 boyutlu birbirine izomorf olmayan Lie cebirlerinin kaç türlü yazılabileceğiincelenmiştir. Öncelikle cebirle ilgili bazı ön bilgiler verilmiş, Lie cebritanımı ifade edilerek temel özellikler incelenmiştir. 2 boyutlu ve 3 boyutlu birbirineizomorf olmayan Lie cebirlerini elde etmek için kullanılan bir Lie cebrinin birideali, türetilmiş Lie cebri, Lie cebrinin merkezi ve derivasyon gibi kavramlar verilmiştir.Ayrıca yine birbirine izomorf olmayan Lie cebirlerini elde etmekte gerekliolan simetrik bi-lineer formlar da ele alınmıştır. Simetrik bi-lineer forma simetrik birmatris karşılık getirilerek, simetrik matrislerin köşegenleştirilebilir oldukları kanıtlanmıştır.Bu ön bilgilerden sonra bir boyutlu Lie cebirlerinin abelyen olduğu gösterilmiştir.İzomorf Lie cebirlerinin merkezleri ve türetilmiş Lie cebirleri de izomorfolduklarından, birbirine izomorf olmayan, 2 boyulu ve 3 boyutlu Lie cebirlerinin belirlenmesindebu Lie cebirlerinin merkezleri ve türetilmiş Lie cebirleri kullanılmıştır.2 boyutlu abelyen olmayan bir Lie cebrinin tek türlü belirli olduğu ve 3 boyutlubirbirine izomorf olmayan sonsuz tane Lie cebri olduğu görülmüştür.

In this thesis, 2 and 3 dimensional Lie algebras are considered. To this end, it is examinedin how many different ways 2 dimensional and 3 dimensional non-isomorphicLie algebras can be constructed. First, some preliminary concepts of algebra are introduced,and its fundamental properties are investigated. Then, the notions ofan ideal of a Lie algebra, derived Lie algebra, the center of a Lie algebra and itsderivation are introduced in order to obtain 2 and 3 dimensional non-isomorphicLie algebras. In addition, symmetric bi-linear forms, necessary in the mentionedconstruction, are also given. It is proved by designating a symmetric matrix to asymmetric bi-linear form that symmetric matrices are diagonalizable. Having introducedthe preliminary notions, it is shown that any 1 dimensional Lie algebra isabelian. Since the centers and derived Lie algebras of isomorphic Lie algebras areisomorphic, these notions are used to determine the non-isomorphic 2 dimensionaland 3 dimensional Lie algebras. Finally, it is shown that a 2 dimensional non-abelianLie algebra is uniquely determined whereas in 3 dimensions there are infinitely manynon-isomorphic Lie algebras.