Adomian ayrıştırma metodu yardımıyla lineer olmayan adi diferansiyel denklemler için başlangıç değer probleminin çözümü

Abstract

Bu çalışmada Adomian ayrıştırma metodu ile Lineer Olmayan Adi Diferansiyel Denklemler için Başlangıç Değer Probleminin yaklaşık çözümleri bulunmuştur.Adi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri için birçok yöntem geliştirilmiştir. Hızla gelişen bilgisayar teknolojisi sayesinde lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemlerin analitik çözüm metodları ile birlikte sayısal çözüm metodları da gelişmiştir. Çalışmada ele alınan Adomian Ayrıştırma Metodu, G. Adomian tarafından 1980'li yıllarda literatüre kazandırılmıştır. Biz Adomian Ayrıştırma Metodu'ndan bahsederken kısaca AAM kısaltmasını kullanacağız. AAM, lineer olmayan denklemlerin çözümünde kullanılan diğer klasik yöntemlere göre daha basit yöntemlerden birisidir. AAM ise Mühendislik problemlerine uygulanmış ve daha güvenli sonuçlar vermektedir. Bilinen Bazı Lineer Olmayan Fonksiyonlar için Adomian Polinomlarının ifadelerinin türetilmesi için Maple-10 programı geliştirilmiştir. Hesaplamalarda Maple-10 programı kullanılmıştır.Birinci bölümde Temel Tanım ve Teoremlerle birlikte Başlangıç Değer Problemi için Varlık ve Teklik Teoremi ve İspatı verilmiştir. İkinci Bölüm'de; AAM ile ilgili Temel Bilgiler verilmiştir. İkinci Bölüm Birinci Kısım'da; Adomian Polinomlarının türetilmesi verilmiştir. İkinci Bölüm İkinci Kısım'da; Lineer Olmayan Denklemler sistemi için AAM'nin uygulanması verilmiştir. İkinci Bölüm Üçüncü Kısım'da; Lineer Olmayan Adi Diferansiyel Denklemler için AAM'nin uygulanması verilmiştir. İkinci Bölüm Dördüncü Kısım'da; Adi Diferansiyel Denklemler Sistemi için AAM'nin uygulanması verilmiştir. İkinci Bölüm Beşinci Kısım'da; AAM'nin Isı İletimi Problemine uygulaması İkinci Bölüm Altıncı Kısım'da; AAM'nin Dalga Denklemine uygulaması verilmiştir. Sonuç olarak; AAM bize yeteri kadar hassas sonuçlar bulmamızı sağlamıştır.Anahtar Kelimeler: Adomian Ayrıştırma Metodu, Dalga denklemi, Lineer olmayan, Isı denklemi.

In this study, the approximate solutions of Initial Value Problems have been found for Nonlinear Ordinary Differential Equations by Adomian Decomposition Method.The various methods have been developed for the numerical solutions of ordinary differential equations. By help of rapidly developing computer technology, numerical solution methods developed are accompanied with analytic solution methods of linear and nonlinear differential equations. Adomian Decomposition Method was carried out by G.Adomian in 1980s. When we mention about Adomian Decomposition Method, we will use ADM for short. The Adomian Decomposition Method is one of the simple method according to other classical methods for solutions of nonlinear equations.ADM has been applied to the Engineering problems and gives more confident solutions. Maple-10 programme has been developed for deriving Adomian Polynoms? statements of some known nonlinear functions. Maple-10 programme has been used on calculations.In Chapter 1, The Existence and Unity Theorem and its Proof for Initial Value Problem with Basic Description and Theorems are given. In chapter 2, basic information about ADM are given. Chapter 2 consists of six parts. In Part 1,it has been mentioned about how to derive Adomian Polynomials.In Part 2, the application of ADM for Nonlinear Differential Equations System has been given. In Part 3, ADM has been applied to Nonlinear Ordinary Differential Equations. In Part 4, the application of ADM for Ordinary Differential Equations System are given. In Part 5, the application of ADM to the Heat Distribution Problem and Part 6; the application of ADM to Wave Equations have been given.Thus, ADM has obtained to find enough sensitive results to the real solution.Keywords: Adomian Decomposition Method, Heat equations, Nonlinear, Wave equations.