On the root functions of ordinary differential operators

Abstract

Bu tezin ana amacı, L₂[0,1] uzayı içinde l(y) = -y′′ + q(x) y diferansiyel ifadesi ve genel regüler olan fakat güçlü regüler olmayan sınır koşulları ile üretilen, öz eşlenik olmayan ikinci mertebeden Sturm-Liouville operatörünün kök fonksiyonları sistemini ve Riesz tabanı özelliğini incelemektir; burada q, [0,1] kümesi üzerinde kompleks değerli toplanabilir bir fonksiyondur. Bu amaçla ilk önce, bu operatörlerin özdeğerleri ve özfonksiyonları için, q∈L₁[0,1] durumunda ve q potansiyelinin mutlak sürekli fonksiyon olduğu durumda, ince asimptotik formüller inşa edilmiştir. Daha sonra, bu formüller kullanılarak, q potansiyeli üzerinde, genel regüler sınır koşullarına sahip Sturm-Liouville operatörünün kök fonksiyonları sisteminin Riesz tabanı oluşturmamasını sağlayan açık koşullar bulunmuştur. Ayrıca, genel regüler sınır koşullarına sahip, öz eşlenik olmayan ikinci mertebeden Sturm-Liouville operatörünün küçük öz değerlerine nümerik yöntemler ile yaklaşımda bulunulmuştur. Son olarak da, hata analizi verilip, bazı nümerik örnekler sunulmuştur. Anahtar sözcükler: Asimptotik formüller, Regüler sınır koşulları, Riesz tabanı, Küçük özdeğerlerin nümerik yaklaşımı.

The main objective of this thesis is to investigate the system of the root functions and the Riesz basis property of the second order non-self-adjoint Sturm-Liouville operator generated in L₂[0,1] by the differential expressionl(y) = -y′′ + q(x) y where q is a complex-valued summable function on [0,1], and general regular boundary conditions that are not strongly regular.To this end, first we construct subtle asymptotic formulas for the eigenvalues and eigenfunctions of these operators for both cases q∈L₁[0,1] and q is an absolutely continuous function. Then using these formulas we find explicit conditions on the potential q such that the system of the root functions of the Sturm-Liouville operator with general regular boundary conditions does not form a Riesz basis. Also, we estimate the small eigenvalues of the second order non-self-adjoint Sturm-Liouville operators with general regular boundary conditions by the numerical methods. Finally, we give the error estimations and present some numerical examples.Key Words: Asymptotic formulas, Regular boundary conditions, Riesz basis, Numerical estimations of the eigenvalues.