Lyapunov fonksiyonu tabanlı bulanık denetleyici tasarımı

Abstract

Bu çalışmada kontrol sistemlerinde kullanılan bulanık denetleyicilerin kontrol kurallarının, Lyapunov kararlılık teoremine göre, Lyapunov fonksiyonları ve bu fonksiyonların türevleri kullanılarak oluşturulması konu edilmektedir.Bulanık denetleyici (FLC), kontrol edilecek prosesin matematiksel modeline ihtiyaç duymadan, kontrol mühendisliği bilgisine ve operatör deneyimlerine bağlı olarak oluşturulabilir. Bu nedenle, özellikle doğrusal olmayan, parametreleri zamanla değişen ve modellenmesi zor veya imkansız olan karmaşık sistemlerin kontrolünde yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak bulanık kontrol kavramının ortaya çıktığı ilk zamanlarda oluşturulan bulanık kontrol sistemleri, geleneksel kontrol sistemlerinde var olan kararlılık ve performans analizlerinden yoksun olduğu için yüksek güvenlik gerektiren uygulamalarda bulanık denetleyicilerin kullanımı kısıtlıydı. Bu durum özellikle bulanık denetleyicilerin kararlılık analizlerinin gerçekleştirilmesi için yapılan çalışmaları arttırdı.Bulanık sistemlerin kararlılık analizleri için özellikle Lyapunov kararlılık anlayışı üzerinde çalışmalar yapıldı ve bulanık kontrol sistemlerinin kararlılığını garantilemeye yönelik birçok farklı yöntem geliştirildi.Çalışmada öncelikle bulanık kümeler teorisi ve bulanık mantık kavramları açıklanarak, bulanık kontrol konusunun anlaşılması için gerekli olan temel bileşenlerin anlaşılması sağlanmıştır. Daha sonra bulanık denetleyicilerin yapısı ve bileşenlerinden bahsedilerek, DC motor konum kontrolü için bulanık oransal-türev denetleyici tasarlanmıştır. DC motor konum kontrol sistemi MATLAB/Simulink ortamında modellenerek, sistemin kontrolünde geleneksel oransal-türev denetleyici ile bulanık denetleyici performansları karşılaştırılmıştır.Çalışmanın devamında, Takagi-Sugeno bulanık model, paralel dağılımlı kompanzasyon ve Lyapunov kararlılık teoremi incelenerek, bulanık kontrol sistemlerinin kararlılığını, Lyapunov kararlılık anlayışına bağlı olarak garanti edecek denetleyici katsayılarının, doğrusal matris eşitsizlikleri kullanılarak nasıl belirleneceğinden bahsedilmiştir. Ters sarkaç sistemi için MATLAB/Simulink ortamında iki kurallı Takagi-Sugeno bulanık model oluşturularak, yazılan MATLAB kodu ile sistemin optimal performansa sahip kararlı bir sistem olmasını sağlayacak denetleyici katsayıları belirlenmiştir.Son olarak sistemi Lyapunov kararlılık anlayışına göre kararlı hale getirecek bulanık kuralların oluşturulması için kullanılan iki farklı yöntem incelenmiştir. İlk yöntemde Lyapunov fonksiyonu ile bu fonksiyonun türevleri kullanılarak kontrol kuralları belirlenirken, ikinci yöntemde kararlılığı sağlayacak bulanık kurallar, Lyapunov fonksiyonunun değişimi ile kontrol sinyalinin değişimi arasındaki ilişkiden faydalanılarak belirlenmiştir ve elde edilen sonuçlar değerlendirilmiştir.

In this study, the design of fuzzy controllers by using Lyapunov functions and their derivatives, based on Lyapunov stability theorem is explained.Fuzzy logic controllers can be implemented without the need of a mathematical model of the plant but just with control engineering knowledge and/or operator. Thus, they are widely used for control of systems that are highly nonlinear, time varying, complicated and difficult or impossible to be modelled. But for the fuzzy logic controllers implemented in the early times of fuzzy control concept, stability or performance analysis didn?t exist while for the conventional controllers these analysis they did. This situation limited the use of fuzzy logic controllers for fail-safe applications. So, the studies about stability analysis of fuzzy logic controllers increased.Studies about the stability of fuzzy control systems were especially on Lyapunov stability theorem and various techniques to satisfy the stability of fuzzy control systems were developed.In this study, first of all fuzzy sets theory and fuzzy logic concept which are necessary to be able to understand the fuzzy control concept, were explained. Then the structure and components of fuzzy logic controllers were mentioned and a fuzzyproportional-derivative controller was designed for position control of a DC motor. DC motor position control system was modelled in MATLAB/Simulink and system responses of conventional (crisp) proportional-derivative controller and fuzzy proportional-derivative controller were compared.Then, Takagi-Sugeno fuzzy model, paralel distributed compensation and Lyapunov stability theorem were studied and it was explained how the linear matrix inequalities were used to determine the controller coefficients that guarantee the stability of fuzzy control systems in the sense of Lyapunov. A two rule Takagi-Sugeno fuzzy model was constructed for inverted pendulum system in MATLAB/Simulink and a MATLAB code was written to determine the controller coefficients which guarantee both the stability and the optimal performance of the systemFinally, two methods to construct the fuzzy rules which make the fuzzy control system stable in the sense of Lyapunov, were examined. While the first method uses Lyapunov functions and their derivatives to determine the control rules, the second method uses the relationship between the change of Lyapunov function and the change of the control signal. The results of the study were evaluated in the end.