Diferansiyel denklemlerin yaklaşık simetrileri

Abstract

ÖZET Bu çalışmada yaklaşık simetri teorileri incelenmiştir. Bu teoriler Lie Grup Teorisi (Diferansiyel denklemlerin tam çözümlerini bulmak için kullanılmaktadır) ve Perturbasyon Teorisinin (Diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak için kullanılmaktadır) birleşimi esasına dayanmaktadır. Literatürde iki değişik yaklaşık simetri teorisi mevcuttur. Birinci teroride infinitesimal jeneratör perturbasyon serisiyle yaklaşık olarak ifade edilmektedir. Buna karşılık, ikinci teoride, jeneratörün yerine bağımlı değişken perturbasyon serisine açılmaktadır. Herbir mertebede ayrışan denklemlerin etkileşimli olduğu kabul edilmekte ve etkileşimli denklemlerin simetrileri hesaplanmaktadır. Bu çalışmada, ilk defa olarak, yeni bir yaklaşık simetri teorisi ortaya atılmıştır. Bu yeni teori ikinci teoriye benzerdir. İkinci teoriden farkı, her mertebedeki denklemlerin etkileşimli olduğu kabul edilmemiş ve denklemler sırası ile Lie Grup teorisi ile çözülmüştür. Teorilerin uygulamaları ve tam simetrilerde karşılaştırmaları iki değişik kısmi diferansiyel denklem (Burger denklemi ve Non-newtonyen akışkan denklemi) kullanılarak yapılmıştır.

ABSTRACT Approximate symmetry theories are investigated in this work. The theories are based on combinations of Lie Grup theory (Used for finding exact solutions of differential equations) and perturbation theory (Used for finding approximate solutions of differential equations). Two different versions of the theory already exist in the literature. In the first version, the infinitesimal generator is approximated by perturbation expansions. In contrast to the first version, in the second version, the dependent variable rather than the generator is expanded by perturbations series. The separated equations at each order are assumed to be coupled and the symmetries of the coupled equations are calculated. A new version of approximate symmetry is proposed in this work for the first time. This new version is similar to the second version. The difference is that the equations at each order are not assumed to be coupled and each equation is solved consecutively by Lie Grup theory. Applications of the theories as well as the comparisons between the exact symmetries are performed using two different partial differential equations, namely the Burger equation and Nonnewtonian fluid flow equations. IV