Sürekli ortamların nonlineer titreşimlerine genel bir yaklaşım

Abstract

ÖZET Sürekli ortam titreşimleri için zorlama ve sönüm terimini de içeren ve nonlineer kısmi diferansiyel denklemle ifade edilen genel bir model ele alınmıştır. Noniineerlik keyfi kuadratik ve kübik operatörlerle genelleştirilmiş olarak ifade edilmiştir. Bu operatörler simetrik yapıda değildir. Denklemin lineer kısmı da keyfi bir operatörle ifade edilmiştir. Bu lineer operatör seif- adjoint özelliğe sahiptir. Bütün operatörler konuma bağlı diferansiyel ve/veya integral formdadırlar. Denklemdeki bütün bağımlı ve bağımsız değişkenler boyutsuz haldedirler. Denkleme ait sınır şartlarının lineer, homojen ve zamandan bağımsız olduğu kabul edilmiştir. Yaklaşık analitik çözümler bulmak için bir perturbasyon tekniği olan Çok Zaman Ölçekli Metod kullanılmıştır. Denklem alışılageldiği gibi diskritize edilmemiş, perturbasyon metodu direkt olarak kısmi diferansiyel denklem(ler)e uygulanmıştır. Önce zorlama frekansının tabii frekanslardan birine yakın olduğu baskın rezonans durumu ele alınmıştır. Elde edilen algoritma ile tepki fonksiyonu bulunmuştur. Tepki fonksiyonundaki her mertebede konum fonksiyonlarının nasıl elde edileceği gösterilmiştir. Ayrıca genlik-faz modülasyon denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemlerdeki a katsayılarının nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir. Örnek bir uygulama olarak nonlineer elastik yatak üzerinde her iki ucundan basit mesnetli Euler-Bernoulli kirişi ele alınmış ve çözümler elde edilmiştir. Aynı genel modelde ikincil rezonanslardan üçte bir ve ikide bir altharmonik rezonanslar, üçüncü derece süperharmonik rezonanslar ve toplama tipi kombinasyon rezonanslar için aynı prosedür izlenerek algoritmik genel çözümler elde edilmiştir. Yapılan düzlem içi titreşim analizine ilaveten düzlem dışı titreşimi de kapsayacak biçimde genelleştirilmiş etkileşimli (coupled) denklemlerde baskın ve bire bir iç rezonans durumu için aynı prosedür uygulanarak algoritmik genel çözümler elde edilmiştir. Bu tip denklemlere örnek olarak sarkıklık yüksekliğinin-uzunluk izdüşümüne oranının küçük olduğu kabloların noniineer titreşimlerini modelleyen diferansiyel denklemlerin baskın ve bire bir iç rezonans çözümleri bulunmuştur. Sadece keyfi kübik nonlineerite ve keyfi kuadratik ve kübik nonlineeriteye sahip iki genel kısmi diferansiyel denklem ele alınarak çok zaman ölçekli metodun iki değişik versiyonu (klasik ve Rahman-Burton) baskın rezonans durumu için uygulanmıştır. Birinci tip denklem için klasik versiyonda elde edilen fiziksel olmayan ekstra çözümlerin duffing osilatörü ile aynı yapıda olduğu bulunmuştur. Rahman-Burton versiyonunun bu ekstra çözümleri eiimine ettiği gösterilmiştir, ikinci tip denklem için ise, kompleks genliğin birinci yavaş zaman ölçeğinden IXbağımsız çıkması nedeniyle her iki versiyonun aynı sonuçları verdiği bulunmuştur. Her iki tip denklem için Rahman-Burton versiyonunun örnek birer uygulaması yapılmıştır. Bu örneklerle alakalı olarak sayısal parametrik değerler kullanılarak birer genlik-frekans grafiği çizilmiştir.

SUMMARY A general model of a nonlinear partial differential equation was considered for continuous system vibrations including also excitation and damping terms. Nonlinearity was represented by generalized arbitrary quadratic and cubic operators. These operators are not symmetric. Linear part of the equation was also represented by an arbitrary self-adjoint linear operator. All of the operators are spatial and of differential and/or integral forms. Independent and dependent variables of the equation are dimensionless. Boundary conditions of the equation are linear, homogenous and time independent. Method of Multiple Scales, a perturbation technique, was applied to the equation in order to find approximate analytical solutions. Equation was not discritized as usually done, but perturbation method was applied directly to the partial differential equation. Firstly, primary resonance case where excitation frequency was near to one of the natural frequencies was considered. Response function was found by the algorithm obtained. The way of finding the spatial functions at each level of approximation of the response function was shown. Also amplitude-phase modulation equations were obtained. The coefficients of the amplitude-phase equations were derived in integral forms in terms of the arbitrary operators. As an example, an Euler-Bernoulli beam resting on an elastic foundation and simply supported at each end was taken and solutions were found. On the same general model, algorithmic general solutions were obtained using the same procedure for secondary resonances such as one-third and one-second subharmonic resonances, third order superharmonic resonances, and additive type combination resonances. In addition to the in-plane vibration analysis, algorithmic general solutions for primary and one-to-one internal resonance case of the generalized coupled equations including out-of- plane vibrations were obtained. As an example for these kind of equations, primary and one-to- one internal resonance solutions were found for nonlinear cable vibrations where sag to span ratios were small. Two general partial differential equations, one having only arbitrary cubic nonlinearity and the other having arbitrary quadratic and cubic noniinearities were considered and two different versions of method of multiple scales (classical and Rahman-Burton) were applied for primary resonance case. For the first type of equation, it was shown that extra nonphysical solutions found by the classical version were of the same form as the duffing oscillator. It was also shown that by the Rahman-Burton version, these extra solutions could be eliminated. For XIthe second type of equation 'it was found that both versions yield identical results. For each type of equations, sample applications for Rahman-Burton version were done. Amplitude-frequency graphics were plotted for these sample applications.