Hareketli şerit ve kiriş titreşim problemlerinin analitik çözümleri

Abstract

ÖZET Bu çalışmada değişken hızlı eksenel hareketli sürekli ortam titreşimleri incelenmiştir. Bölüm 2' de Hamilton prensibi kullanılarak eksenel hareketli şerit ve kiriş için hareket denklemleri elde edilmiştir. Elde edilen hareket denklemleri boyutsuzlaştırılarak, denklemlerin kullanılan malzemenin cinsine ve boyutlarına olan bağımlılıkları ortadan kaldırılmıştır. Daha sonra bu hareket denklemleri kullanılarak şerit, esnek kiriş ve kiriş için çözümler elde edilmiştir. Bölüm 3' de eksenel hareketli şerit denklemi ele alınmıştır. Elde edilen denklemin çözümü için Lie Grup teorisi kullanılmıştır. Şerit hızı keyfi kabul edildiği için Lie Grup teorisi ile birlikte eşdeğerlik dönüşümleri de uygulanmıştır. Önce denkleme ait simetriler elde edilmiştir. Elde edilen simetriler kullanılarak değişik hız fonksiyonları için tam çözümler üretilmiştir. Şerit hızı keyfi hız, sabit hız, sabit ivmeli hız, harmonik değişen hız ve sabit bir hıza eksponansiyel yaklaşan hız fonksiyonu olmak üzere değişik formlarda ele alınmıştır. Daha sonra bazı hız değişkenleri için elde edilen tam çözümlerden sınır şartlarını sağlayabilecek çözümler ele alınmış ve bu çözümlere sınır şartları uygulanmıştır. Böylece sınır şartlarını yaklaşık sağlayan çözümler elde edilmiştir. Bölüm 4' de esnek kiriş problemi ele alınmıştır. Bu bölümde kirişin eğilme direngenliği küçük kabul edilerek esnek kiriş denklemi elde edilmiştir. Elde edilen bu denklem Matched Asymptotic Expansions metodu kullanılarak çözülmüştür. Çözüm için önce perturbasyon metodlarından çok zaman ölçekli metod kullanılarak dış açılım çözümü elde edilmiştir. Bu dış açılım çözümünün uç noktalarda bazı sınır şartlarını sağlamadığı görülmüştür. Bu problemi ortadan kaldırmak için uç noktalara yakın yerlerde ikinci bir açılım daha yapılarak iç açılım çözümleri elde edilmiştir. Daha sonra bu çözümler birleştirilerek bütün sınır şartlarını yaklaşık sağlayan kompozit çözümler elde edilmiştir. Bu probiem sınır şartlarının basit-basit ve ankastre-ankastre olma durumları için ayrı ayrı çözülmüştür. Hız değişimi olarak ise harmonik değişen hız ve sabit bir hıza eksponansiyel yaklaşan hız fonksiyonları ele alınmıştır. Bölüm 5' de eksenel hareketli kiriş problemi incelenmiştir. Elde edilen kiriş denkleminin çözümü için şerit probleminde olduğu gibi Lie grup teorisi kullanılmıştır. Hız fonksiyonu yine keyfi olarak kabul edilmiş ve bu nedenle Lie grup teorisi eşdeğerlik dönüşümleri ile birlikte kullanılarak denkleme ait simetriler elde edilmiştir. Bu simetriler kullanılarak değişik hız fonksiyonlarına sahip eksenel hareketli kiriş için tam çözümler elde edilmiştir. Kiriş hızı şerit probleminde olduğu gibi keyfi hız, sabit hız, sabit ivmeli hız, harmonik değişen hız ve sabit bir hıza eksponansiyel yaklaşan hız fonksiyonu olmak üzere değişik formlarda ele alınmıştır. Daha sonra elde ettiğimiz tam çözümlerden sınır şartlarını sağlayabilecek çözümler ele alınmış ve her iki ucundan basit olarak mesnetli kiriş için sınır şartlarını yaklaşık sağlayan çözümler elde edilmiştir. XIV

ABSTRACT In this study, vibrations of axially moving continua are investigated. In chapter 2, the equations of motion for axialiy traveling string and beam are derived using Hamilton 's Principle. Dependence of equations on type and dimensions of the material used is eliminated by nondimensionalizing the equations of motion. Then the solutions are obtained for string, slender beam and beam by using these equations. In chapter 3, the string problem is considered. Lie Group Theory is used to solve the equation. Since the string velocity is assumed to be arbitrary, Equivalence Transformation is applied with the Lie Group Theory. The symmetries of the equation are obtained. By using these symmetries exact solutions are found for various velocity functions. Axial velocity is considered in different forms such as arbitrary velocity, constant velocity, constant acceleration velocity, harmonically varying velocity, and exponentially varying velocity. Then, of the exact solutions obtained for various velocity parameters, those that would satisfy the boundary conditions approximately are selected and the boundary conditions are applied to these solutions. Thus approximate solutions satisfying the boundary conditions are obtained. In chapter 4, the flexible beam problem is considered. The equation is obtained by assuming small flexural rigidity. This equation is solved by using the Method of Matched Asymptotic Expansions. First, the outer expansion solution is obtained using the Method of Multiple Scales, a perturbation technique. It is observed that this outer expansion solution does not satisfy some of the boundary conditions for some extreme points. In order to eliminate this problem, inner expansion solutions are obtained by making a second expansion in the neighborhood of extreme points. Then these solutions are combined to obtain composite solutions approximately satisfying all the boundary conditions. The problem is solved for simple- simple and fixed-fixed boundary conditions. Harmonically varying velocity and exponentially varying velocity cases are considered. In chapter 5, axially moving beam problem is considered. Lie Group Theory is also used for the solution of beam equation. Velocity function is assumed to be arbitrary and thus symmetries of the equation are obtained by using the Lie Group Theory combined with Equivalence Transformations. By using these symmetries, exact solutions are found for an axially moving beam. Beam velocity is considered in different forms such as arbitrary velocity, constant velocity, constant acceleration velocity, harmonically varying velocity, and exponentially varying velocity. Then, of the exact solutions obtained, those that would satisfy the boundary conditions are selected and approximate solutions for simply supported beam are obtained. XV