Non-Newtonyen akışkanlar mekaniğinde bazı akış problemlerine ait analitik çözümler

Abstract

ÖZET Bu çalışmada, non-Newtonyen akışkanlar mekaniğinde bazı akış problemlerinin analitik çözümleri ele alınmıştır. Analitik yöntem olarak Lie Grup Teorisi ve Perturbasyon teknikleri kullanılmıştır. ikinci bölümde, non-Newtonyen bir akışkan modeli olan ikinci ve üçüncü derece akışkanlara ait hareket denklemleri çıkartılmıştır. İvme terimleri, viskoz terimler, ikinci ve üçüncü derece akışkan terimleri kartezyen koordinatlar için hesaplanmıştır. Denklemler iki boyutlu kararlı akışı ifade etmektedir. Üçüncü bölümde, viskoz ve üçüncü derece akışkan terimleri ile kıyaslandığında, ikinci derece akışkan terimlerinin ihmal edildiği özel bir üçüncü derece akışkanın gerdirilmiş yüzey üzerindeki sınır tabakası denklemleri ele alınmıştır. Lie Grup analizi kullanılarak kısmi diferansiyel denklemlerin genel simetrileri bulunmuştur. Benzerlik dönüşümleri sonucunda kısmi diferansiyel denklemler adi diferansiyel denklem sistemine indirgenmiştir. Sonuçta bulunan adi diferansiyel denklem sistemi nümerik olarak çözülmüştür. Dördüncü bölümde, kayma gerilmesi fonksiyonu hız gradyanının keyfi fonksiyonu olan bir non-Newtonyen akışkanın sınır tabakası denklemleri ele alınmıştır. Denklemlerin iki farklı yöntem kullanılarak kayma gerilmesi fonksiyonuna göre grup sınıflandırması yapılmıştır. 1)Klasik teori 2)Eşdeğerlik dönüşümleri. Her iki yaklaşımda da aynı sonuçlar bulunmuştur. Keyfi fonksiyon durumundaki Lie cebrini yanlızca Newtonyen ve Power-Law akışkanlarının genişlettiği görülmüştür. Power-Law modeli için nümerik çözümler yapılmıştır. Beşinci bölümde, atalet terimlerinin ihmal edildiği ikinci derece akışkanlar için iki boyutlu yavaş akış denklemleri ele alınmıştır. Lie Grup analizi ile denklemlerin simetrileri hesaplanmıştır. Lie Cebri dört sonlu parametre Lie Grup dönüşümünden ibaret olup, dönüşümlerden biri ölçekleme diğerleri ise öteleme dönüşümleridir. x,y koordinatındaki öteleme dönüşümleri kullanılarak eksponansiyel çözüm üretilmiştir Ölçekleme simetrisi ile elde edilen adi diferansiyel denklemler seri açılımları ile çözülmüştür. Son olarak çözümlerle ilgili bazı sınır değer problemleri tartışılmıştır. Altıncı bölümde, non-Newtonyen akışkanla yağlanmış kayar yatak ele alınmıştır. Akışkan üçüncü derece bir akışkandır. Çalışmada önce akışkana ait hareket denklemleri çıkartılmıştır. Denklemlerin çözümü için perturbasyon tekniği kullanılmıştır. Çözümde en basit perturbasyon açılımı olan yaya açılımı kullanılmıştır. Perturbasyon açılımı ile önce hız, sonra da.' basınç dağılımı yaklaşık olarak bulunmuştur. Bulunan bu sonuçlar boyutsuzlaştırılarak uygun bir formda ifade edilmiştir. Non- Newtonyen karakterin artmasıyla ve yatak boyutlarının değişmesiyle hız ve basınç dağılımının nasıl bir değişim gösterdiği çizilmiştir. vııı

SUMMARY In this study, the analytical solutions of some flow problems of non-Newtonian fluids are considered. As analytical tools, Lie Group Theory or Perturbation Techniques are used. In the second chapter, the equations of motion are derived for second and third grade fluids. Acceleration terms, viscous term, second and third grade fluid terms are calculated for cartesian coordinates. The equations represent two dimensional steady flow. In the third chapter, the boundary layer equations of a special third grade fluid over a stretching sheet in which the second grade effects are negligible compared to third grade and viscous effects are treated. By using Lie group analysis, the general symmetries of the partial differential system are found. The partial differential system is transformed into an ordinary differential system via similarity transformations. Finally, the resulting ordinary differential system is solved numerically. In the fourth chapter, boundary layer equations of a non-Newtonian fluid model in which the shear stress is an arbitrary function of the velocity gradient is considered. Group classification of the equations with respect to shear stress is done using two different approaches: 1) Classical Theory 2) Equivalence Transformations. Both approaches yield identical results. It is found that the principle Lie Algebra extends only for cases of Newtonian and Power-Law flows. Finally, numerical solutions are obtained for Power-Law model. In the fifth chapter, two dimensional equations of motion for the creeping flow of second grade fluid are considered in cartesian coordinates neglecting the inertial terms. By employing Lie Group analysis, the symmetries of the equations are calculated. The Lie Algebra consists of four finite parameter Lie Group transformations, one being the scaling symmetry and the others being translations. Two different types of solutions are found using the symmetries. Using the translations in x and y coordinates, an exponential type of exact solution is constructed. For the scaling symmetry, the outcoming ordinary differential equations are more involved and only a series type of approximate solution is presented. Finally some boundary value problems are discussed., In the sixth chapter, a slider bearing lubricated with a non-Newtonian fluid is considered. The fluid is a third grade fluid. First the equations of motion are derived. Perturbation- methods are employed in search of approximate solutions. The simplest perturbation expansion, namely the pedestrian expansion, is used. The velocity distribution and the pressure distribution are calculated approximately. The solutions are expressed in dimensionless form for convenience. The variation of pressure and velocity with the non-Newtonian behaviour and bearing `dimensions are plotted. IX