Kısmi fonksiyonel integro diferensiyel denklemlerin Laguerre polinomlarına dayalı nümerik çözümleri ve uygulamaları

Abstract

Bu tez çalışmasında kısmi diferansiyel denklemlerin, parabolik konveksiyon-difüzyon problemlerin, kısmi integro diferansiyel denklemlerin, kısmi fonksiyonel integro diferansiyel denklemlerin ve doğrusal olmayan kısmi fonksiyonel integro diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini elde etmek amacıyla Laguerre sıralama yöntemi uygulanmaktadır. Yöntemde, denklemler ve koşullar sıralama noktaları ile birlikte matris formuna getirilerek Laguerre katsayılarına sahip cebirsel denklemler sistemine indirgenmektedir. Bu cebirsel denklemler sistemi, Maple ve MATLAB programlarında geliştirilen kodlar yardımıyla çözülerek yaklaşık çözümler elde edilmektedir. Ayrıca, bulunan yaklaşık çözümlerin hata analizi ile farklı normlar üzerinde hata tahmini, rezidüel fonksiyon yardımı ile Laguerre polinom çözümlerinin iyileştirilmesi ve hataların küçültülmesi sağlanmaktadır. Çalışma, beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, kısmi fonksiyonel integro diferansiyel denklemlerin ve çözüm yöntemlerinin tarihi gelişimi, kullanım alanları ile ilgili genel bilgiler verilmekte ve tez çalışmasının amacı belirtilmektedir. İkinci bölümde, bu denklemler ile ilgili temel kavramlar, nümerik çözümleri için kullanılan farklı yöntemler, Laguerre polinomları ve hata analizi ile ilgili kaynak özetleri bulunmaktadır. Üçüncü bölümde ise Laguerre sıralama yöntemi, matris bağıntıları, çözüm yöntemi ve hata analizi ile açıklanmaktadır. Dördüncü bölümde, her problem çeşidi için nümerik örnekler verilerek, sonuçlar tablo ve grafikler yardımıyla gösterilmektedir. Son olarak, beşinci bölümde ise sonuç ve öneriler yer almaktadır.

In this thesis study, Laguerre collocation method is applied to obtain approximate solutions of partial differential equations, parabolic convection-diffusion problems, partial integro differential equations, partial functional integro differential equations and nonlinear partial functional integro differential equations. In the method, equations and given conditions with the collocation points are reduced to a system of algebraic equations with Laguerre coefficients by putting them in the form of matrices. This system of algebraic equations is solved by using the codes developed in Maple and MATLAB programs and approximate solutions are obtained. In addition, error analysis of the approximate solutions are used for estimation of errors by different norms; Laguerre polynomial solutions are improved and the errors are reduced with the help of residual function. The study consists of five parts. In the first part, the general development of the partial functional integro differential equations and solution methods and also the aim of the thesis work are given. In the second part, basic concepts about these equations, different methods used for their numerical solutions, resource summaries about Laguerre polynomials and error analysis are available. In the third part, Laguerre collocation method, matrix relations, method of solution and error analysis are explained. In the fourth section, numerical examples are given for each problem type and the results are shown with the help of tables and graphs. Finally, in the fifth section, conclusions and suggestions are included.