Monotone and open Whitney maps defined on hyperspaces

Abstract

$X$ boştan farklı bir continuum ( tıkız , bağlantılı metrik uzay ) olmak üzere, $2^{X}$ üzerinde tanımlı Whitney adı verilen belirli özellikleri sağlayan bir dönüşümün varlığı bilinmektedir, bu dönüşümün açık ya da monoton olma özelliklerine sahip olması gerekmemesine rağmen $2^{X}$'in kapalı altkümesi olan $C(X)$ üzerinde tanımlı her Whitney dönüşümün monoton ve açık olduğu bilinmektedir. Eğer $X$ continuum üzerine lokal bağlantılılığı eklersek ki, literatürde buna Peano continuum denir, $2^{X}$ üzerindeki her Whitney dönüşümün açık ve monoton özelliğine sahip olduğunun incelenmesi bu tezin amacının bir tanesidir ve diğeri eğer Whitney dönüşümü $/omega$ ile gösterirsek $X$'in Peano contiuum olması durumunda $w^{-1}(t)$ ile gösterilen Whitney seviye (bazı makalelerde buna Whitney continua da denir ) yapısı da ayrıca incelenecektir. Çünkü bildiğimiz kadarı ile $[0,/omega(X)]$ aralığında aldığımız her $t$ için bu Whitney seviye yapısının lokal bağlantılı olup olmadığı henüz bilinmemektedir./tab Bu tez şu şekilde düzenlenmiştir. Biz öncelikle tezin motivasyonunu açıklamak için ayrintılı bir giriş bölümününü verdik ardından bu tezde kullandığımız tanımları ve teoremler verildi ve sonra kısaca Hyperspace kavramından bahsettik. Whitney dönüşümlerin varlığı ve genişletilebilirliği önemli bir bölümdür. Çünkü bizim çalışmamız onun varlığına bağlıdır. Biz özellikle $X$'in lokal bağlantılı olması durumunda onun ve onun noktasal tersinin özellikleri üzerinde çalışacağız. Söylediğimiz gibi Whitney dönüşümler bölümünün arkasından onun özellikleri ve onun noktasal tersinin özelliklerinin olduğu iki bölüm gelmektedir. Son olarak, sonuç bölümünde, literatürde olmayan bir gözlemimizi vereceğiz ve ne üzerinde çalışıyor olduğumuzdan bahsedeceğiz ve üstelik ilgilenen okuyucular için açık problem bırakacağız.

Let $X$ be a nonempty continuum. It is known that there exists a map, which is called Whitney map, satisfying some special properties. Whitney map for $2^X$ need not be monotone and open. However, Whitney maps for defined on $C(X)$ i.e the closed subset of $2^X$, have these properties. One of the aims of this dissertation is to investigate whether Whitney maps defined $2^X$ are monotone and open. In addition, if the Whitney map is denoted by $/omega$, the structure of Whitney level denoted by $/omega^{-1}(t)$ (in some articles it is called Whitney contunia too) is investigated whenever X is Peano continuum. Because, locally connectedness of Whitney level for an arbitrary $t/in [0,/omega(X)]$ is not known yet./tab This dissertation is organized as follows, we give, first, a comprehensive introduction part to explain a motivation of this dissertation after that general definitions and theorem(s) used in this thesis are given, and then the notion of a hyperspace is mentioned briefly. The existence and extension of a Whitney map is the crucial parts of this dissertation. Since our study depends on its existence, we work on it and its point inverses whenever $X$ is, especially, a locally connected continuum. Chapter six and seven are related to these properties. In the last chapter, we give some observations which is not in literature and we mention what we are working on and we also pose some questions for interested reader.