Beyin tümörlerinin matematiksel modellenmesi ve analizi

Abstract

Bu çalışmada, beyin tümörlerinin matematiksel modellenmesine neden ihtiyaç duyulduğu, modellenmenin nasıl yapılacağı , oluşan modelin çözüm ve analizinin nasıl yapılabileceğinin açıklanması amaçlanmıştır.Tezin ilk bölümünde tümör , tümörün çeşitleri, beyin tümörü , teşhis yöntemlerinin ne olduğu bilgileri aktarılmıştır.Beyin tümörünün büyümesi problemini 1-boyutlu sınır değer problemi olarak ele alıp, yaklaşık çözümü sonlu farklar metodları ve ortaya çıkan lineer olmayan denklem sistemlerini de Newton-Raphson metodu ile çözülmüştür. Sonlu fark metodlarından Açık İleri Euler, Kapalı Geri Euler Metodu ve Crank-Nicolson Metodu kullanılmıştır. Model, lineer ve lineer olmayan iki durum için incelenmiştir.Lineer durum için, Fourier dönüşümleri yardımıyla kararlılık koşulu Von Neumann analizi yardımıyla yapılmıştır. Tam çözümü bilinen bir denklem için, bu metodlar kullanılarak hata mukayesesi yapılmış ve grafikleri çizilmiştir. Lineer olmayan durum için yukarıda adı geçen sonlu fark metodları uygulanıp sayısal çözümler elde edilip grafikleri verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Matematiksel Modelleme, Sonlu Fark Metodları, Von Neumann Analizi, Euler Metodu, Crank-Nicolson Metodu.

This research presents the reasons behind the need for the mathematical modeling of brain tumors and the implementation way of the studied models. The solution and analysis of the models studied are also intended to explain.The information about tumors, types of tumor, brain tumor and the diagnostic method for tumors are discussed in the first part of dissertation.The growth in brain tumor is examined as a one-dimensional boundary value problem and the finite difference methods such as explicit forward Euler method, implicit backward Euler method and Crank-Nicolson method are used for approximate solution. For the non-linear problem, after applying these finite difference schemes, we obtain a system of non-linear equations and these were solved by the Newton-Raphson method. The models are analyzed for linear and non-linear cases.For the linear case, the Fourier transforms are used for the stability condition in the Von Neumann analysis.For the non-linear case, the same process is made for all three finite difference models mentioned above, and the solution graphs are drawn as well. In error comparison, the linear part of the problem is considered since the exact solution is known. The corresponding solution graphs are drawn.Keywords: Mathematical Model, Finite Difference Methods, Von Neumann Analysis, Euler Method, Crank-Nicolson Method.