Homotopi teorisi ve cauchy integral teoremi

Abstract

in ÖZET Yüksek Lisans Tezi HOMOTOPİ TEORİSİ VE CAUCHY INTEGRAL TEOREMİ Şeyda KILIÇOĞLU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Nurhayat İSPİR 1992, Sayfa: 50 Jüri: Yrd. Doç. Dr. Nurhayat İSPİR Prof. Dr. Öner ÇAKAR Doç. Dr. Cemil Yıldız Bu çalışmada Cauchy-Goursat Teoremi, cebirsel topolojide önemli biryer tutan homotopi kavramı ile karakterize edilecektir. Cauchy-Goursat (veya Cauchy integral Teoremi) Teoremi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. `Eğer f(z) fonksiyonu basit irtibatlı bir D bölgesinin tamamında analitik ise, bu durumda X ffz)dz = 0 C dır. Burada C, D bölgesinde pozitif yönlendirilmiş basit kapalı bir çevredir.` Bu tezde Cauchy-Goursat Teoremi cebirsel topoloji bakış açısından aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.IV `f(z), bir D bölgesinde analitik bir fonksiyon vey düzgün parçalı kapalı bir eğri olsun. Eğer y sıfıra homotop (y s 0) ise, bu durumda / l(z)dz = () Y dır.` Teoremin ispatı homotopi kavramı ve analitik devam yöntemi birlikte kullanılarak daha kısa ve geometrik olarak verilmiştir. Ayrıca, U(cQ), D de cQ merkezli, maksimum yarıçaptı bir daire ise, bu durumda I;0(z) fonksiyonu her z G l'(i`n) için = I f(z)dz olarak tanımlanmıştır. Cq taban noktalı y eğrisi boyunca F0(z) nin analitik devamının Y okluğu gösterilmiştir. Diğer Ü bölgesinde y sıfıra homotop ise, bu durumda monolromi teoremin den WW? dır. ANAHTAR KELİMLER : Analitik fonksiyon, düzgün parçalı eğri, ölçülebilir eğri, taban noktası, homotopi, monodromi teoremi, analitik devam, integralerle analitik devam, sarma sayısı.

ABSTRACT Masters Thesis CAUCHY THEOREM FROM HOMOTOPY POINT OF VIEW Şeyda KILIÇOĞLU Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Assist. Prof. Dr. Nurhayat İSPİR 1992, Page: 50 Jury: Prof. Dr. Öner ÇAKAR Assist. Prof. Dr. Nurhayat İSPİR Assoc. Prof. Dr. Cemil YILDIZ It is known that Cauchy-Goursat theorem is one of the fundamental topics of complex function theory. In this thesis Cauchy-Goursat theorem is characterized from homotopy ponit of view. This theorem states that in a certain class of domains the integral of an analytic function over a closed contour is zero. The restriction on the domain is that it be simply connected. From algebraic topology ponit of view Cauchy-Goursat theorem can be sta ted as follows. Let function f be analytic in a simply connected domain D, and lety be any closed contour in D. If y is nomotopic to zero in D, then / f(z)dz = 0 Y In this proof we used the concept of homotopy and the method of analytic continuation. Also if U(Cq) is a disc in D with maximum radius and center at c0 then by defining the function F0(z) asVI /. z Fö(z)= J Çz)dz for z e U(c0), we prove that along the curve y with base point c0, the analytic conti nuation of F0(z) is / arz)dz = F,(c(0 Y If y is homotopic to zero in D, then by the monodromy theorem Fj(cq) : F0(c0) = O. KEY WORDS : Analytic function, smooth piecewise curve, rectifiable curve, base point, homotopy, monodromy theorem, analytic continuation, analytic continuation with integrals, winding number.