Harmonik fonksiyonların temel özellikleri ve poliharmonik fonksiyonlar

Abstract

ÖZET Yüksek Lisans Tezi HARMONİ K FONKSİYONLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ ve POLİHARMONÎK FONKSİYONLAR Ali ÇEVÎK Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Pro£ Dr. Abdullah ALTIN Bu yüksek lisans tezi beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, ön bilgiler ve bazı temel kavramlar verilmiştir. İkinci bölümde, Laplace denkleminin çözümleri olan harmonik fonksiyonlar tanımlanmıştır. Daha sonra değişkenlerine ayırma metodu kullanılarak bazı temel harmonikler elde edilmiş ve harmonik fonksiyonların, çemberlere ve kürelere göre inversiyonlan incelenmiştir. Laplace denklemi ile ilgili sınır değer problemleri, harmonik fonksiyonlar için ortalama değer teoremi ve maksimum prensibi verilmiştir. Ayrıca Fourier serileri kullanılarak birim dairede Dirichlet probleminin çözümü elde edilmiş ve bu çözüm için Poisson integral formülü verilmiştir. Üçüncü bölümde, Green fonksiyonu yardımıyla Dirichlet probleminin çözümü elde edilmiştir. Harmonik fonksiyonların ileri özellikleri, elektrostatik görüntü metoduyla Green fonksiyonun belirlenmesi, kompleks değişkenli analitik fonksiyonlar ile iki boyutlu Laplace denkleminin ilişkisi ve Neumann problemi incelenmiştir. Dördüncü bölümde, poliharmonik denklem tanımlanmış, bu denklemin çözümleri olan poliharmonik fonksiyonların ve A Laplace operatörünün bazı özellikleri üzerinde durulmuştur. Ayrıca poliharmonik bir fonksiyonu harmonik fonksiyonlar cinsinden ifade eden Almansi açılımı elde edilmiştir. Tezin son bölümünde Genelleştirilmiş Eksensel Simetrik Potansiyel Teori (GASPT) denklemi tanımlanmıştır. Bu denklem ile tanımlanan L operatörünün ve denklemi sağlayan genelleştirilmiş eksensel simetrik potansiyel fonksiyonların bazı özellikleri verilmiştir. Son olarak, poli eksensel simetrik potansiyel fonksiyonlar için Almansi açılımı elde edilmiştir. 200$ 110 sayfa ANAHTAR KELİMELER: Laplace denklemi, Harmonik fonksiyon, Poliharmonik fonksiyon, GASPT denklemi, Almansi açılımı

ABSTRACT Master Thesis FUNDAMENTAL PROPERTIES of HARMONIC FUNCTIONS and POLYHARMONIC FUNCTIONS Ali ÇEVİK Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Abdullah ALTIN This master thesis consists of five chapters. In the first chapter, introductory information and some fundamental concepts were given. In the second chapter, the harmonic functions, which are the solutions of Laplace's equation, were defined. Afterwards using separation of variables, some fundamental hormonics were introduced and the inversion of harmonic functions with respect to circles and spheres were examined. Boundary value problems associated with Laplace's equation, the mean value theorem and maximum principles for harmonic functions were given. Furthermore, using Fourier series method the solution of Dirichlet problem for the unit disc was obtained and Poisson integral formula for this solution was givea In the third chapter, the solution of Dirichlet problem was obtained by using Green's function. Advanced properties of harmonic functions, determination of the Green's function by the method of electrostatic images, the relation between analytic functions of a complex variable and Laplace's equation in two dimensions, Neumann problem were examined. In the fourth chapter, polyharmonic equation was defined, some properties of the polyharmonic functions, which are the solutions of the polyharmonic equation, and A Laplace operator were examined. Furthermore the Almansi expansion, which is the expansion of a polyharmonic function in terms of harmonic functions, was obtained. In the last chapter, Generalized Axially Symmetric Potential Theory (GASPT) equation was denned. Some properties of the £ operator, which is defined by GASPT equation, and the GASPT functions, which are the solutions of this equation, were givea Finally the Almansi expansion for the poly axially symmetric potential functions was obtained. 2004, 110 pages Key Words: Laplace's equation, Harmonic function, Polyharmonic function, GASPT equation, Almansi expansion