M-grupları ve sylow altgrupları blackburn p-grupları olan nilpotent grupların gösterimleri

Abstract

îki bölümden oluşan bu tezin ilk bölümünde, Grup gösterimlerinin temel tanım ve teoremleri verilmiştir. Bu temel tanım ve teoremler Curtis-Reiner(1962a,JŞ83b) Huppert(i,967)Dornhoffi^i971b)den derlenmiştir. tkinci bölümde Monomial gösterimler, kısaca özetlendikten sonra yapilan- orjinal çalışma verilmiştir. G sonlu bir grupDCHCK,G nin DAH, H/D devirli ve K'O H CD, KAG koşullarını gerçekleyen altgrupları olmak üzere ir H in D çekirdekli lineer gösterimi ve it. tt nin K üzerine lineer genişletilmişi olsun. K, K'nHCD koşulunu gerçekleyen G nin maksimal altgrubu ise TT nin indirgenemez olduğunu Basmaji(İ969) göster- - G mistir, tik olarak ir nin indirgenemez olması halinde K nin verilen koşulu ger çekleyen G nin maksimal altgrubu olduğunu göstererek Basmaji'nin çalışması gerek ve yeter hale getirilmiştir. I....... Sonlu grupların belli bir 2J, ailesinin çözülebilir grupların bir alt ailesi olduğu ^gösterilerek bu ailenin herbir elemanının monomial gösterimleri elde e- dilmiştir, Basmaji (Î969J genelleştirilmiş meta-Abelyen grup tanımını vererek her genelleştirilmiş meta-Abelyen grubun bir M-grup olduğunu göstermiştir. Bu ça lışmada her p6TP-{2}' için üretenleri ve tanımlı bağıntıları Blackburn pL9iL7j tarafından verilen türev grubu iki üretenli olan p-grüplarmın -genelleştiril miş meta-Abelyen grup olduğu gösterilmiş ve daha sonra bu grubun indirger gösterimlerinin tam sistemi elde edilmiştir. Son olarak Genelleştirilmiş meta-Abelyen grupların sonlu direkt çarpıma I. kapalı olduğu gösterilerek tüm Sylow altgruplarınm türev grupları ıkı üreten li olan nilpotent grupların indirgenemez gösterimlerinin bir tam sistemi ve rilmiştir. IV

This thesis is consist of two parts. In the first part, basic definitions and theorems of group representation are given. These definitions and theorems have been collected from Curtis-Reiner (1962a, 1983b),Huppert(1967)andDornheffCL97 In the second part, after giving a short summation of monomial represen tations the original part of work has been given. Let G be a finite group and let DCHCK besubgroups of G such that DAHs H/D is cyclic, K'HHCD and KAG. Furthermore let tt be. a linear representa tion of H such that Ker fr?;D and let it be a linear extens^ion of tt onto K. Basmaj i(1969)proved that if K is a maximal subgroup of G satisfying -G. the above condition, then induced representation it is a irreducible repre- i #, sentation of G.iln the first step of this work we proved that converse - G Basmaj i' s theorem is also true; that is if induced representation ir is irreducible then the group K is a maximal subgroup of G with K'OHCD (see 5.1). Hence Basmaj i' s work has been reexpressed with necessarry and sufficient conditions. In the secpnd part of this work, considering a certain family of finite groups it has been show that 31 is a subfamily of solvable groups and it has been, obtained that all of the monomial representation of each member of ii-Next, it has been shown that family Ü. is closed under the operation finite-direct product. Basmaj i(1969)gave the definition of the generalized metabelian groups and proved that every generalized metabelian group is a M-groupt Furthermore13 he gave a p-group which has order p (pG!P-{2}) such that it's derived group generated.by two element as an example for generalized metabelian groups but not metabelian. In this work, for each p6 !P-{2} it has been proved that p-groups such that their derived group generated by two elements (Blackburn p-groups) are generalized metabelian groups. And then complete system of irreducible representations of such groups has been given. Seeing that the conditions on subgroup K implies that K is a maximal subgroup of G with K' CZ HK', we obtained a comlete system of irreducible representations of Blackburn p-groups (p6 1P-{2}). Finally it 'has been proved that if G,,G` are finite generalized metabelian groups, then G1xG0 is a generalized metabelian group. And if P, »P,,,...,P are Blackburn p. -groups (p-, >p9,...»p 6 lP-{2}) then G= X P. i=l is a generalized metabelian group. Furthermore it has been obtained a presentation of G and a complete system of irreducible representations of G. VI