Doğrusal zamanla değişen dizgelerde durum denetlenebilirliği ve gözlenebilirliği

Abstract

ÖZET Denetim mühendis liginde çok giriş-çok çıkxşlı doğrusal dizgelerin devingen davranışını belirleyebilmek için giriş bü yüklükleri ile durum değişkenlerine erişebilmek gerekir. Aynı zamanda dizgeye istenen davranışı yaptırabilmek için çıkışla rına bakarak uygun giriş büyüklüklerini seçebilmek gerekir. Söz konusu bu sorunlar özellikle çağdaş denetim mühendisliği nin ortaya çıkmasıyla daha da önem kazanmış ve 1960 ' lı yıllar da Kalman' nm vermiş olduğu Denetlenebilirlilik ve Gözlenebi- lirlilik (Controllability and Observability) tanımlarıyla çö züme kavuşmuştur. Sözkonusu tanımları şöyle verebiliriz: Doğrusal bir dizgede verilen bir t0 ve tf (başlangıç ve son durum anı) değerleri için herhangi bir x(t0) başlangıç durumu, sonlu bir t0^t^tf zaman aralığında bağımsız bir u(t) denetim büyüklüğü ile arzu edilen herhangi bir x(tf) son duru muna götürebiliyorsa dizge `[t0,tf] aralığında bütünüyle du rum denetlenebilir `dir. Aynı biçimde sözkonusu dizgede eğer tç^t^tf zaman aralığında herhangi bir t0 değeri için verilen x(t0) başlangıç durumu aynı aralıkta y(t) çıkış bilgilerinden saptanabiliyorsa dizge `[t0,tf] aralığında bütünüyle durum gözlenebilir ` dir. İkinci bölümde doğrusal dizgelerin genel çözümü incelen dikten sonra Denetlenebilirlilik-Gözlenebilirlilik tanımları ve gerekli koşullar ayrıntılı biçimde verilmiştir. Söz konusu kavramlar için değişik koşul ve kanıtlar incelenmiştir. Çözüm için çok önemli rol oynayan DGM (Durum Geçiş Matrisi) 'nin çö zümüne ağırlık verilmiştir. Doğrusal zamanla değişen dizgele rin çözümü ve denetlenebilirlik-Gözlenebilirlik koşulları ko- mütativ dizgeler için oldukça basitleşir. Bu nedenle aynı bö lümde komütativ dizgeler ayrıntılı biçimde incelenmiş DGM, za manla değişen özdeğerler ve denetlenebilirlik-gözlenebilirlik koşullarının kolayca saptanabileceği yöntemler üzerinde durul muştur. Dizgelerin mertebesi büyüdükçe analitik çözüm çok za man gerektirir ve hesap zorlaşır. Sayısal çözüm kaçınılmaz olur. üçüncü bölümde DGM, denetlenebilirlik ve gözlenebilir- lik durumları sayısal olarak incelenmiş ve çözüm için bir al goritma geliştirilmiştir. Ek-I'de fortran 77 programlama di linde yazılmış bir bilgisayar programı bütünüyle denetlenebi- len-bütünüyle gözetlenebilen, bütünüyle denetlenemeyen-bütünüy- le gözetlenemeyen ve bunların kombinezonlarını içeren özellik teki dizgelere uygulanmış ve gerekli yorumlar yapılmıştır. Son olarak dördüncü bölümde elde edilen sonuçlar ve öne riler belirtildi. -VI-

STATE CONTROLLABILITY AND OBSERVABİLİTY OF LINEAR TIME VARIANT SYSTEMS SUMMARY In this thesis, the concepts of controlability and obser vability are examined in detail and an algorithm is given for testing the controllability and observability of linear, time- variant multi input-output systems. A linear, time variant, multiple input-multiple output systems are usually represented by a state space model in the following form: x(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) y(t) aC(t)x(t)+D(t)u(t) The behavior of such a system can be completely determined if all the state variables x(t) are reached by the control input u(t). Besides, it is possible to force the system to a certain desired behavior by setting suitable input functions in view of the available outputs. These problems have gained increasing alttention since early I9601 s with the introduction of `Controllability` and `observability` concepts by R.E. Kalman (1960). It is clear that for the application of the controlla bility criteria and observability criteria, the state transli- tion matrix $ (t), which is a time function in the case of a -VII-time variant system, must be evaluated asa matrix form. An analytic method developped by Wu(1981) is discussed for calcu lation of the state translition matrix based on the decompo sition of A(t) in the second chapter. In the same chapter, two theorems for total state controllability and observability in Silverman and Meadows study (1967) are proved assuming that A{t), B(t) and c(t) are n-1 time derivable. These theorems are given below. Theorem lî A system of the form above is completely control lable if and only if the matrix G(t) has rank n for all t Where G(t) = C*0VPn-l3 and Pk+1=-A(t)Pk+Pk, Po=B«J Theorem 2: A system of the form above completely observable if and only if Q matrix defined as Q=CSo Sx... Sn_1] has rank n for all t where Sk+1=AT(t) Sk+Sk S0=CT(t) In the case commutative systems, the criteria are quite a bit simplified. This special case is discussed in detail and dif ferent methods are described for numerical calculation of the -van-state transition matrix, testing of controllability and ob servability, and separately time-variant eigenvalues. It is obvious that analytical solutions become cumberso me and difficult as the order of the system increases. There fore numerical calculations are inevitable for high order Systems. In the third chapter the used numerical methods are examined and an algorithm is improved for calculation of the state translition matrix and controllability-observability tests. For this purpose, the state transition matrix is nu merically calculated in the matrix form by solving the following differential equation: $(t,tQ)=A(t)$(t,t0), «(t0,tQ) =1 Two different algorithms are used in this study one based on the central difference and the other on Runge-Kutta-Merson method (Williams, 1973). A numerical method is described to check the contralla- bility and observability by the following theorems. Theorem 3: A system defined in the state space model above is completely state controlable on t £t$t, if and only if the Gramian matrix G(t) is nonsinqular, Where. 1 G(t1#tQ)=/ 4(t1,t)B(t).B!'(t)* (t^tjdt fco and (t,t ) is the unique fundamental matrix satisfying $(t,to)=A(t)$(t,tQ), *(tQ,t0)=I -IX-Theorem 4: The system above is completely observable in the time interval t $t$t, if and only if the Gram matrix fcl 0(^,1^) =/ »*(t,t0)C*(t)c(t)*(t,t0)dt o is nonsingular. The Fortran 77 programme implemented for tes ting the Controllability and observability conditions of a systems described by the state model written above is attached to the end of this report. The method is applied to diverse systems and the numerical results are discussed. -X-