Sürekli fonksiyonlar halkası

Abstract

ÖZET X bir topolojikuzay olmak üzere X üzerinde tanımlı reel de ğerli sürekli fonksiyonların oluşturduğu halkayı C(X) ile göste relim. C(X)'in yapısının verilen X uzayı üzerinde tanımlanan topolojiye bağlı olduğu açıktır. Bu çalışmada C(X) ' i ve C(X)'in sınırlı fonksiyonlarının oluşturduğu C*(X) halkasını incelemeye çalıştık. Birinci bölümde genelde bilinen bazı tanım ve kavramlar ve rilmiştir. İkinci bölümde C(X) ve C*(X) ele alındı. C(X) ve C*(X) halkalarını incelemede önemli rolü olan birtakım tanımlar veril di. Örneğin: sıfır kümesi, C*-gömülme ve C-gömülme gibi. Daha sonra z-ideal tanımı ile z-süzgeci tanımları verildi. C(X) in incelenmesinde önemli rolü olan z-süzgeçleri, z-idealler arasında ki bağıntı incelendi. Bir z-idealin asal ideal olmasını belirle yen eşdeğer özellikler teorem ile gösterildi. Birz-idealin ken disini içeren asal ideallerin bir arakesiti biçiminde olduğu ka nıtlandı. Ayrca C(X)'de bir asal idealin bir tek maksimal ideal tarafından kapsandığı görüldü. Bir X topolojik uzayı verildiğin de tam düzenli bir Y uzayı C(X) ile C(Y) eşyapılı olacak biçimde bulunabilir (Gil İman, Jerison, 1976, s. 41). Bu nedenle tam düzenli olmayan uzaylar ile çalışmaya gerek yoktur. Sabit idealler, kom- pakt Uzaylar adlı 4. kısımda serbest ideal, sabit ideal, serbest z-süzgeci ve sabit z-süzgeci tanımları verildi. X uzayı kompakt olmayan tam düzenli bir uzay ise X'de serbest z-ultrasüzgeçleri- nin var olduğu gösterildi. C(X) 'in sabit maksimal idealleri ile C*(X)'in sabit maksimal idealleri belirlendi. C(X)'in sabit mak simal ideallerinin tamamen pe X olmak Üzere M = {f eC(X): f(p) = 0) biçiminde ve C*(X) in sabit maksimal ideallerinin M DC*(X) biçiminde olduğu gösterildi. X uzayı kompakt ise C(X)'in ir her idealinin sabit olduğu görüldü. X ve Y uzayı topolojik eşya- pılı(homeomorf ) ise C(X) ve C(Y) nin cebirsel olarak eşyapılı (izomorf) olduğu açıktır. Eğer X ve Y kompakt uzaylar ve C(X) IVile c(Y) eşyapılı ise bu takdirde X ile Y'nin topolojik eşyapılı olduğu gösterildi. Daha sonra C(X) de dışbükey ideal ve mutlak dışbükey ideal tanımları verildi. IoC(X) dışbükeybir ideal olmak üzere C(X)/I de kısmi sıralama bağıntısı tanımlandı. C(X)/I'daki sıralamayla C(X) deki bir diealin yapısının nasıl berileneceği araştırıldı. Üçüncü bölümde kompakt olmayan tam düzenli bir X uzayı ele alındı. X uzayının kompakt bir uzayın içine yoğun olarak gömüle- bileceği biliniyor. Biz burada C(X)'in yapısını belirlemede önem li rolü olan X'in 3X ile kompaktlaştırmasını ele aldık. X'deki her serbest z-ultrasüzgece karşılık X'de olmaan yeni bir nokta karşılık getirdik. 3X ile bu yeninoktalar kümesiyle X uzayının birleşiminden oluşan kümeyi gösterdik. BX üzerinde yeni bir to poloji tanımladık. 3X de tanımlanan bu yeni topolojiye göre X uzayının 3X uzayının yoğun bir alt uzayı olduğunu gösterdik. 3X uzayının eşdeğer beş özelliği teorem olarak sunuldu. 3X uzayının önemli özelliklerinden biri ise X uzayının 3X'de C*-gömülü olma sıdır. Bu özellik kullanılarak C^X)'in C(BX) ile eşyapılı oldu ğu gösterildi. Böylece C*(X)'in maksimal ideallerini belirlemek kolaylaştı. Daha sonra C(X)'deki maksimal ideallerin tamamen p e 3X olmak üzere M^= {f eC(X): peclZ(f)} biçiminde olduğu gösterildi. Ayrıca p e 3X olmak üzere 0 = {fec(X): clZ(f) p nok tasının komşuluğudur} z-ideali yardımıyla C(X)'deki asal ideal lerin durumu incelendi. P asal ve Pc M^ ise O^c PcM^ olduğu gösterildi. Diğer yandan her kısmın sonuna incelenen) konuyu pekiştiren problemlerin çözümü eklendi. Problemlerin büyük çoğunluğu (Gillman, Jerison, 1976) 'dan alınmıştır.

SUMMMY X being a topolrigicalLspaee, let us denote the rings of real-valued continuous functions on X by C(X). It is clear that the structure of C(X) is depend on the topology defined on X. In this study we try to investigate the rings C(X) and C*(X), where C*(X) consists of the bounded functions of C(X). In chapter I we give some generally known concepts and definitions. In chapter II we gived some definitions such as zero-set, C*-embedding and C-embedding which are important in studying the rings C(X) and G*(X) and then consider the rings C(X) and C*(X). Nesrt we give the definitions of z-ideal and z-filter, and study - the relationship between z-filters and z-ideals which play an important role in studying C(X). The equivalent properties which determine the conditions of a z-ideal to be a prime ideal have been shown by a theorem. It has been proved that a z-ideal is an intersection of prime ideals involving itself. In addition it has been observed that a prime ideal in C(X) is involved by a unique maximal ideal» Given a topological space X one can find a completely regular space Y such that C(X) and C(Y) are isomorphic(Gillman, Jerison, 1976, p. 41). For this reason there is no need to study with spaces which are not completely regular. The definitions of free-ideal, fixed ideal,, free z-filter and fixed z-fflteE.`haveböen`given in Chapter II, section 4 under the title `Fixed ideals, Compact Spaces`.. Then we show that if the space X is a completely regular space which is not compact then there exist free z-ultrafilters on X, and we determine the £ix&â ttaxlmX.^&a-Js of the rings C(X) and C*(X) it hasbeenipfoved-fchat the fixed maximal ideals of C(X) and C*(X) are precisely of the form M = {f e C(X) : f(p) = 0},, p eX and M_n C*(X) respectively. We observe that if the space X is compact then every ideal of C(X) is fixed. It is clear that C(X) and C(Y) are isomorpic if the spaces X and Y are homeomorphiCc We have shown that if X and Y are compact spaces and if C(X) and VIC(Y) are isomorphic then X and Y are homeomorphic. Then we give the definitions of convex and absolutely convex ideals in C(X). ICC(X) being a convex ideal we define the partially ordering relationship. We investigate how one can determine the structure of an ideal in C(X) by the way of ordering in C(X)/I. In chapter III we consider a completely regular space X. It is known that the space X can densely be embedded in a compact space. Here we consider a compactification SX of X which plays an important ro-le in: studying the structure of C(X). For every free z-ultrafilter on X we determine a point which is not on X., With 3X,we donote the set which consists of the union of these new points and fche --space X.We define a new topology on 3X and show that the space X is a dense subspace of 3X according to this new topology. The five equivalent properties of 3X has been given as a theorem. An important property of the space 3X is that the space X is C*-embedded in 3X. By using this property we prove that C*(X) and C(3X) are isomorphic. So it becomes easy to determine the maximal ideals of g*(X). Then we have shown that the maximal ideals in C(X) are precisely of the form Mp={feC(X): peclZ(f)}, p e 3X. In addition, as p e 3X, by the help of the z-ideal 0 ={fec(X): clZ(f) is a neighborhood of the point p} the prime dieals in C(X) have been investigated. If P is prime and Pc=Mp then it has been shown that OpezPc:Mp. Moreover, we add some problems, and their solutions to the end of every section to make firm the subject. Majority of the problems have been taken from the book `Rings of Continuous Functions`, Gillman, L. Jerison, M., Springer-Verlag, New York, 1976,. VII