Geometrik integrasyon teori

Abstract

ÖZET Bu özetle klasik integrasyon teorisini, özellikle akımları ve bu çalışmada izlenen yolu tanıtacağız. Amaç bu kuramların ana fikir ve yöntemlerini vermek olduğun dan, bu kuramlar en genel şekli ile ele alınmadan, Rn de tanıtılacaklardır. Bilindiği gibi Rn de bir diferensiyal r-biçim w(x) = l w,,...A^C*1 »rn)d£ 1A...AdxXr s ı<x1<...<xrSu.Âı- (X) x olarak tek türlü yazılabilir (burada (X) toplamın artan damgalar üzerinden yapılacağını söyler ve dX 1A...Ad*' r yerine de kısaca dx yazılmıştır). w(x)=0 olması için gerek ve yeter koşul tüm artan X 1ar için w^(x)=0 olması dır. Bir O^biçim ise tanım gereğince bir f:Rn-> R fonksi- n k yonudur. Tüm w, katsayıları R` de C -sınıf ındansa w ya lc ti t C -sınıfından denir. w nın desteği {xGlR w(x);,<0} kümesi nin kapanışıdır. Rn deki C -sınıfından r-biçimlerin £r' kümesi bilindiği gibi bir R-vektör uzayıdır. gr,k daki r k kompakt destekli r-biçimler ise D ' alt vektör uzayını k oluştururlar. Her kGN için w biçimi C -sınıf ındansa w ya C°°-sınıf ından denir. Rn deki C^-sınıf ından r-biçimlerin vektör uzayı fcr olsun. şr deki kompakt destekli r-biçim lerin alt vektör uzayı Dr ile gö s terhis* ÎM. Besbelli kiIV + 00.r,k çr = n s ', d1- = r/ d r,k r,k r,k+l r,k r,k+l tDE, D ' DD kao k=o I ' p D dır. Ana fikri vermek için Er ve Dr ile çalışacağız. Bu uzaylar L. Schwartz'm dağılım teorisinde olduğu gibi to polojik vektör uzayı yapılırlar. r=so için £°=C°°(En >R), yani Rn de C^-sınıf ından R-değerli fonksiyonların uzayı, ve D° a Co(En,R), yani Rn de C°°-sınıf mdan kompakt destekli R-değerli fonksiyonların uzayıdır. Besbelli ki Çr * (t°)^K ç°©...ÖE° (.(?£) tane) ve Dr = (Do)(*:0 Bir r-akım, tanım gereğince bir T:Dr -*? (R sürekli doğ- I rusal dönüşümdür. Rn deki r-akımlarm uzayını Dr ile göste relim. 0-akımları tamı tamına Schwartz'm dağılımları (dist- ributionları) dır. Şimdi I' tıln sürekli olmasını^şoyle dile getirebiliriz. wn = E w_ j^dx*GDr lerin destekleri aynı bir KcRn kompakt kümesininiçine düşüyorlarsa ve her X ve her m=(m1,...,mn)6Nn için wn>xm>^ n^0 ise T(wn) ^0 dır (Her hangi bir f6C°°(Rn) için x6X.,ml+...+mn4 mı m` 3x11...9xnn (x) olarak açıklanmıştır), (de Rham, 1955js,39). Rn de r-boyutlu bir Er afin alt uzayında bir a yön lendirilmiş kutusu verilsin, a, Er de sonlu sayıda kapalı yarı uzayların arakesiti olarak elde edilmiş sınırlı dış bükey bir kümedir. Her w6Dr için<a,w> := Ta(w) is /w a tanımlanmıştır ve Ta bir r-akımdır (de Rham, 1955?s,40). Daha genel olarak c= Ea^a^ bir r-zincir olsun, yani c, Rn de yönlenmiş sonlu sayıda r-kutuların reel a^ katsayı- larıyla oluşturulmuş formal toplamı olsun. <c,w> = <Tc,w> := / w = Ea. / w c Ojl ile yine bir Tc r-akım tanımlanır. Tc akımı ile c zinciri özdeş kılınır. X r / w = E w,dx 6 D ise dw a E dw.Adx (X) (X) X bir (r+l)~biçimidir. Dr İ D** bir sürekli doğrusal dönü şümdür (de Rham, 1955js,54). d nin d*duali 3 ile gösterilir, Dr.* Dr + i ve dual dönüşümün tanımından T6Dr + 1 için 3TGDr ve 3T(w) :« T(dw), Vw6Dr. it d yerine ü yazılmasının nedeni Stoks teoremidir, a bir yönlendirilmiş (r+l)-kutu ise, yüzeylerini a ile uyumlu yönleyerek 3a, r-zinciri elde edilir. Stoks teoremi bu durumda her wGDr için / w a / dw, yani <3aiW> = <ö,dw> 3a a olduğunu söyler. Bu ise d`a=3a demektir. Dağılım kuramının genellemesi olan akımlar kuramında başlangıç noktası Dr r-dif erenslyal biçimleri, yani r-eş- vektörlerln uzayıdır, İki şeyi vurgulayalım. BirincisiVI diferansiyal biçimlerin kolay kabuledllebilir bir yorumu, açıklaması yoktur. İkincisi bu uzaylar ele aldığımız topo lojiyle normlu uzaylar değillerdir. Bu çalışmada tam tersi bir yol izleyeceğiz. Geometrik nesnelerle, R üzerinden n-boyutlu En afin uzayında çokyüz- lü r-zincirlerin C* uzayı ile işe başlayacağız. Bu sade ce basit geometrik objelerin oluşturduğu bir uzaydır. Bu b # uzayı düz ve keskin normlarıyla normlayacağız ve bu normlara göre tamlayarak (Cr, ) düz r-zincirler ve (C*, ) keskin r-zincirlerin Banach uzaylarını elde pol pol edeceğiz. Yine geometrik 3 sC~ + ı `*` C doğrusal sınırlı dönüşümlerimiz vardır. Bu sürekli doğrusal dönüşümler yine 9 ile gösterilen cj + 1-^-»- c£ ve cj+1 -^ of doğrusal dönü şümlerine genişletilirler. C ve CÇ Banach uzaylarının du- ali olan C ve C Banach uzayları bizim için düz r-eşzin- b T* SfT T* cirler ve keskin r-eşzincir ler uzayı olacaklar. C ve C` uzaylarının diferensiyal biçimlerle her hangi bir ilişkisi varmıdır? Gerçekten ilginç olan şu sonuçlarla karşı karşı- yayız.VII,n (1) RcE açık kümesi üzerinde tanxmlx bir düz X r-eşzincirine karşılık bir tek düz Dy r-biçimi vardır, ö.k., her yönlendirilmiş a r -simp 1 eksi için X.a a /ûx a dir. Bu dönüşüm bire bir ve örtendir.,n.... (2) Benzer bir ilişki E üzerinde tanımlı keskin r-eşzincirler ile keskin r-biçimler arasında vardır. Ayrıca 3:c£ + 1 -»- Cb 8: C# -*- C$ sürekli doğrusal r + 1 ^ B dönüşümlerinin duallerini aynı 3`=:d ile gösterirsek bu d:Cbr ?*? Cbr + 1 ve dıC^.> C#r + 1 doğrusal dönüşümlerinin r-eşzincirlere karşılık gelen r-dif erensiyal biçimler için, diferensiyal biçimler kuramından tanıdığımız d ile aynı an lamı taşıdığını görüyoruz. Görüldüğü gibi iki kuram biçiminden tümüyle farklıdır ve bir anlamda taban tabana zıttır. Şöyle ki akım kuramı DrVIII r-biçimler uzayı ile (yani bu kuramın r-eşzincirleriyle) işe başlar ve bu uzayların duallerine geçilerek D r-zin- cirler uzayı yani r-akımlar elde edilir. Bu çalışmada Cı, çokyüzlü r-zincirlerin uzayları ile işebaşlanıyor ve bu uzay değişik normlara göre tanılanarak değişik Cr r-zincir uzayları, örneğin Cr veya C`*, elde ediliyor. Bu zincir uzayları, akım kuramındaki Dr r-zincir uzayından _. _ i farklıdır. c£ uzayı, son derece yalın geometrik nesne lerden oluşmuştur.ve 3sC?+ı `*` C^ doğrusal dönüşümü de yine yalın bir geometrik anlama sahiptir. Böylece elde edilen C* Banach uzaylarının, örneğin Cr veya C`< nin, dual Banach uzaylarına geçerek bir takım C* r-eşzincir uzayla rı, örneğin C düz r-eşzincirler veya C*r keskin r-eşzin cir uzayları elde edilir. Normlar uygun seçildiğinde bu r-eşzincirlerin belli türden diferensiyal r-biçimlere kar- şılık gelmesive 9 nin dual dönüşümü olan 3 =d nin ise bu bağlamda w diferensiyal r-biçimleri için dw dif erensiyaline karşılık gelmesi, aynı zamanda diferensiyal r-biçimlere ve d dış diferensiyal işlecine yalın bir yorum getirmiştir. Başka bir kazanç ise X r-eşzincirine bir w s E w,dM (X) x ' diferensiyal r-biçimi karşılık geliyorsa, w, 1ar türevlene- bilir fonksiyonlar olmasa da, dw nin açıklanabilmesidir ; çünkü dX her zaman açıklanabilir (dX(A) s X(3A) her AGC£). Bu çalışmada anakaynak H. Whitney, 1957 dir. Aslında bu bir kitaptandaha ileri, yazarın keskin r-biçimlerleIX keskin r-eşzineirler arasındaki ilişkiyi ve Wolf'un düz r-biçimlerle düz r-eşzincirler arasındaki ilişkiyi açık ladığı çalışmaların ve bunların bir takım sonuçlarının sunulduğu, bir makale biçimindedir. Bizim amacımız bir yerden başlayarak, bu iki çalışmayı izlenebilir bir biçi me getirip sunmaktır. Hacmi daha fazla genişletmemek için bu çalışmada Lebesque integrasyon teorisi ve Lebesque ölçü teorisi biliniyor kabul edilmiştir.

SUMMARY In this summary we'll introduce Classical Integration Theory, especially the flows, and the way which we have followed in this study. Since our aim is to give the main idea and the methods of the theory we'll introduce them in Rn without handling them in their most general form. As it is known an r-dif f erential form in R can only be written in a unique way as. w(U)= I wx, X (3f1,...Xn)dX 1A...AdicXr = E w.dxX lSx1<...<XrSn 1... r (X) X (Here (X) states that the summation is over increasing indices and we've used the notation dX instead of... x - d* 'A....Actft /i).. The necessary and sufficient condition for w(K)=0 is w,(X)=0 for all increasing X. It is convenient to call any real valued function f a O-form. If all the k n coefficients w, are of class C in R then w is said to k be of class C. The support of w is the closure of the set {x;GRnw(xr.)jJ0}. As it is known the set sr>k of r-forms of k n clas C in R is an R-vector space. On the other hand the r k r-forms with compact supports in fi ' constitute the r k vector subspaces D '. If for every kSN w form is of classXI C then w is said to be of class G00. Let the vector space of r-forms of class c` in Rn be Br âttd 'lot `^the ':şubvec£ör Space öf. r-forms with compact support in Çr be denoted by D. It is obvious that +00 r k r +0° r k r.k r.k+1 r k r,k+l k=io k=o fer»k3Dr'k. t* r To give the main idea we'll study with t and D. These spaces are madetopological vector spaces as in the distribution theory of L. Schwartz. For r = o, fc°, fe°=C00(IRn,IR), i.&» fe° is R valued function space of class C00 in Rn and D°=C0>(Rn,R), i.e, D° is R-valued function space with compact support of class C00 in Rn. It is clear that fer _ (feO)(f.)a feoffl>s#eko (( n y tane) ve Dr = (Do/P An r-flow is a continuous linear function T:DK -> R '.. by definition. Let us denote the space of r-flows in Rn by D. O-flows are just the distributions of Schwartz. Now we can express the continuity of T as follows* If the supports of w_ = E w`, dtf GDr fill in the same n n (A) n»X ` compact set KcR and if for every X and every m=(m1 ffl*>GfNnlwnulm>k nZ% then T(wn> nî»° (For any fSC^R11) fm i, is explained asXII x6& 1 n (de Rham, 1955} ^ V 3 9 ). Let an oriented cell a be given in affin subspace Er of dimension r in Rn. a is a bounded convex set which is obtained as the intersection of finite number of closed semi-space in Er. For every w6D <a,w> i= T0(w) := / w a is defined and T is an r-flow (de Rham, 1955:p, 40). More generally let csEa^o^ be an r-chain, i.e, c is a formal summation formed by real cofficient a^ of finite number of oriented r-cells in JR. Whith <c,w> = < Tc,w> :a /w = Sai/ w again an r-flow Tc is defined. We. identify c with Tc If > ?,. ` w a E w,d5SAGDr then dw = E dw.AdX (X) A (X) A t d r + 1 is an (r + l)-form. D - ? D is a continuous linear transformation (de Rham, 1955; p. 54). The dual d of d is denoted by 8.Dr « Dr + 1 an<* ^y t*ie defini-tion of dual transformation, for T6Dr+1, 3T6Dr and 3T(w) := T(dw), Vw6Dr. A The reason of writing 3 instead of d' is the stokesXIII Theorem. If a is an oriented (r+l)-cell then, by orien ting its surfeces in agreement with a, an r-chain 3a is obtained. Then in this case Stokes Theorem states that for every wOD / w a / dw, i.e., <3o,w> = <cr,dw> So a This means that d`o*s3a. In the theory of flows which is a generalization of Distribution Theory the starting point is r-diffren- tial forms Dr,i.e., the space of r-covectors. Here we point out two things. First, an easily acceptable comment or explanation of differential forms do not exist and the second, these spaces are not normed spaces in the sense of topology we handle. In this study we'll follow just the opposite way. We'll start with geometric objects, the space Cr of polyhedral r-chains in n-dimensional affine space E on JR. This space consist of too simple geometric objects. i ib We will normo. this space by flat norm and sharp norm [ ^ and by completing acording to these norms we'll obtain the Banach spaces of flat r-chains (Cr, ) and sharp r-chains (C*``, ) 4 Again we have geometric linear pol pol bounded transformations 3:C -*? Ci.. These continuous r + 1 r linear transformations are extended to linear transforma- b i. `# tions, again denoted by 3, C +^ Cr and C +^ ?*XIV br r The Banach spaces C and C, which are the duals of b the Banach spaces Cr and C respectively, will be flat r-cochaina space and sharp r-cochains space. Is there br any relation between differential forms and, C and r G spaces? We are face to face with the results which are really interesting. (1) For every flat r-cochain X defined on an open set RcE there corresponds a unique flat r-form D^ such that for every oriented r-simplex a X.a b / D, This correspondence is one-to-one and onto (2) A similar relation exists betxeen sharp r-coc- hains and sharp r-foms on E.