Mercerian teoremleri

Abstract

ÖZET Bu çalışmada amaç, Mercer Teoremi 'ni ve bu teoremin Mercerian Te- oremleri adı verilen benzerlerini ve genişlemelerini incelemektir. Ça lışmaya konu oluşturan problem şudur: (l-«)/(n+l), k<n <x e IR sayısı için a nk (ntf+1 )/(n+l ), k=n olmak üzere, bir s=(s ) n 0, k>n dizisinin A =(a ) dönüşümü A (s):= Z_j a s = «s + l-- s dır. Ay- nk n k*o nk k n n+1 Jc=o k n rica m := - 2_* s ile tanımlanan (m ) dizisi, verilen (s ) dizisinin n n+1 j<_0 k n n 1. mertebeden Cesaro ortalaması (aritmetik ortalaması) dır. Mercer'in Orjinal Teoremi; <x > 0 reel sayısı için lim A (s)= £ n_*c» n ise lim s = t olduğunu ifade eder. Tersine lim s =C ise (lim m = n-».cr> n n.»oo n fi-^oo n l olacağından) lim A (s-)=c olur ki bu, A=(a ) dönüşümünün regüler n-*m n nk olduğunu gösterir. 0 halde Mercer'in Orjinal Teoremi, bu A=(a ) nk matrisinin, <x > 0 reel sayısı için yakınsaklığa denk olduğunu ifade eder. Bu nedenle, bir metodun yakınsaklığa denk olduğunu ifade eden her teoreme bir `Mercerian Teoremi` adı verilir. Tekrar Mercer Teoremi 'ne dönülürse, hemen şu soru akla gelebilir; bu teoremdeki m C -ortalaması daha genel ortalamalar ile (toplanabilme n 1 metodları ile) yer değiştirebilir mi? Çalışmada, bu sorunun cevabı araştırılmış, ayrıca <x > 0 reel sayısı ve 1. mertebeden Cesaro Ortalaması için verilen Orjinal Mercer Teoremi 'nin, bazı koşullar altında, 1) 0<.<x4.A. reel sayısı ve Nörlund ortalaması, 2) _i_<«<l reel sayısı ve I4B42 olan e. mertebeden Cesaro ortalama- 3 * sı 3) 0<<*4.1 reel sayısı ve 2. mertebeden Cesaro ortalaması için de sağlandığı görülmüştür. ir

SUMMARY The purpose of this work is to investigate the Mercer's Theorem and its analogues and extensions called `Mercerian Theorems`. The sub ject of the problem which forms this work is that; Let tX be any fixed real number, s=(s ) be a real sequence and A=(dn^) be a matrix defined by a,«= nk and m are given respectively by n (l-« )/(n+l), k<n (n«+l)/(n+l), k=n. Then A (s) n 0, k>n AJs) := 2_. a s = <*s + - £-> s, m := - - f- s. n k=0 nk k n n+1 k-0 k n n+1 ft_o k So A (s)= <* s +(l-c<)m. Where m is called the Cesaro means of order n n n n 1 of s=(s ). n The original theorem of Mercer states that in case of «>0, lim A (s)= t implies lim s = t. Conversely if lim s =1 then since lim n n-t-oo n fi-^-oo n n.- <*> m =t, lim A (s)= I. This implies that A=(a ) is regular. So the n n->.oo n nk Mercer's Original Theorem means that if <x>0, the matrix A=(a ) which nk associates with the transformation A is equivalent to the convergence. For this reason, any theorem which states that a method is equivalent to the convergence is called a `Mercerian Theorem`. The Mercer's Theorem arouses a question which states whether or not in this theorem the Cesaro means of order 1 (aritmetic means) m can be replaced by more general means (summability methods), n p of In this work, some answers ho these kinds 'questions are investiga ted. Furthermore, under some assumptions it is shown that the Mercer Theorem holds in cases of; 1) 0<o(4-y and the Nörlund means, 2) -<«< 1 and the Cesaro means of orders, l^p^ 2, 3) 0<<x<l and the Cesaro means of order 2. Ill