Sonlu grup gösterimleri için Clifford teoremleri

Abstract

ÖZET Sonlu gruplar sınıflanabilir mi? Cayley'in 1854 de göstermiş olduğu `Her sonlu G grubu G kümesi üzerindeki simetrik gruba gömülebilir` teorisiyle bu probleme çözüm aranmaya başlanmıştır. @ bir gömü, F bir cisim olmak üzere R @ ile elde edilen G nin F-uzaylı regüler gösterimi olsun. Birçok matematikçi, bilinen gruplar yardımıyla bir sonlu grubun bazı özellikleri elde edilebilir düşüncesinde birleşiyorlardı. Bu düşüncede, bilinen grublar R regüler gösteriminin indirgenemez bileşenleri olarak karşımıza çıkar. Frobenous, Schur ve diğer birçok matematikçinin G grubunun grup gösterimleri, FG grup cebirinin cebir gösterimleri ve FG-modüllerin kategorilerinin herhangi birinde çalışıldığında denk sonuçlar alınabileceği şeklindeki düşünceleri sonradan geliş tirilen teorileri ile kanıtlanmıştır. Bu büyük problem 20. yy. m son çeyreğinde sonuçlanmıştır. Bir grubun ayrışamaz veya indirge nemez gösterimlerinin denklik sınıflarının belirlenmesi problemi, kategorik denklik yardımıyla, ayrışamaz ve indirgenemez FG-modül lerin denklik sınıflarını belirleme problemine dönüşmüştür. Bu aşamada G nin altgrupları üzerindeki ayrışamaz lık veya indirge- nemezlik G ye genişlediğinde ne olur sorusu akla gelir. Bunun için G sonlu bir grup ve N3G olmak üzere indirgenemez FN-modülle- rin inşası için üç temel operasyon verilir; i) FN ye kısıtlama, ii) FN den genişleme, iii) FN den indüksiyon Clifford teori işte bu üç operasyondur. Bu teori ilk defa 1937 de Cliff ord'un verdiği klasik teoremle başlar. Bu çalışmada amacımız, Clifford 'un verdiği bu klasik teoremi ve daha sonra Karpılovsky'nin genelleştirdiği değişik bir versiyonunu tanıtmaya çalışmaktır. II

SUMMARY Can finite groups be classified ? It has been started to study on this problem using the theory `Every finite group G can be embedded into the symmetric group on the set G` stated by Cayley in 1854. Let R be an F-spaced regular representation of G obtained by using @, @ and F being an embeddig and a field respec tively. Many of the mathematicians agreed on that some properties of a finite group could be obtained by using the known proups. In this idea, known groups are the irreducible components of a regular representation R. The idea of Frobenous, Schur and some other mathematicians that equivalent results would be obtained wnenever it has been studied in any one of the following; group representa tions of a group G, algebraic representations of a group algebra FG and categories of FG-modules, has been proved later by extended versions of their theories. This great problem has been settled in the last quarter of the 20th century. The problem of determining the equivalence classes of irreducible or indecomposable represen tations of a group has turned into, by using the categorical equivalence, the problem of determining the equivalence classes of irreducible or indecomposable FG-modules. At this stage the question ` what happens if irreducibility or indecomposability on the subgroups of G extend to G ? ` arises. For that reason, G being a finite group and NSG being a subgroup, three basic operations are given for the construction of irreducible FN-modules. These are; i) restriction to FN, ii) extension from FN and iii) induction from FN. Clifford theory consists of these three operations. In this study our aim is to introduce and to investigate this classical theory given by Clifford and its extended and gene ralized version given by Karpilovsky. Ill