Banach uzaylarının yapısı ve normun türevlenebilirliği

Abstract

IV ÖZET Dört bölümden oluşan bu çalışmada, üzerinde pek yayın yapılmamış olan bir konuyu ele aldık. Bu kısaca şöyle özetlenebilir: Normlanmış yansımalı gerçel doğrusal bir E uzayının topolojik eşleği E*ın normu hangi koşullar altında Frechet türevlenebilirdir? Birinci bölümde gerekli olan önbilgileri verdik. îkinci bölümün birinci ve ikinci kısımlarında, yeri geldikçe kendi katkılarımızı da ekleyerek, Shmul'yan, Cudia, Restrepo, Giles, Diestel tarafından çalışılan normun türevlenebilirliğinin bir karakterizasyonunu, Banach uzaylarında alt yansıma özelliğini ve Bishop- Phelps teoremini inceledik. Üçüncü kısımda 2.25. Teorem ile, E bir Banach uzayı ise, E uzayının birim küresi S (E) nin norm yoğun her altkümesinin, S (E) üzerinde sürekli her (E, II. II) -> (E,11.11) dayanak dönüşüme göre görüntüsünün, E uzayının birim küresi S (E ) in norm yoğun bir altkümesi olduğunu gösterdik ve `E in normu Fr§chet türevlenebilir ise E yansımalıdır` şeklinde bilinen önemli bir teoremi bunun bir sonucu olarak verdik (2. 26. Sonuç). Üçüncü bölümde, 2.26. Sonucun tersinin sonlu boyutlu uzaylarda bile doğru olmadığını bir örnekle gösterdikten sonra 3.5. Sonuç ile, sonlu boyutlu bir E uzayı toparlak ise E in normunun Frechet türevlenebilir olduğunu ispat ettik. 3.7. Örnek ile, bu özelliğin sonsuz boyutlu uzaylar için yeterli olmadığını gösterdik ve 3.9. Teorem ile, E m normununFrechet türevlenebilirliğinin bir karakterizasyonunu veren `E normlanmış yansımalı ve toparlak bir gerçel doğrusal uzay ise, E in normunun bir f G s (E ) noktasında Frechet türev- o n lenebilir olması için gerek ve yeter koşul, C llf+Agll-llf ıı - -r-, Â#0 iken H: E*xIR -+ İR, H (g,x) =< lif + ygll-llf II lim ---, X = 0 iken ^ 0 if şeklinde tanımlanan H dönüşümünün S (E ) x [-1,1] üzerinde düzgün sürekli olmasıdır` teoremini ispat ettik. Dördüncü bölümde, normun grafiği olan { (x, llxll): x e E} kümesi ile,x es(E) olmak üzere f 6D(x ) = {f G S (E*) : 1 f I = f(x )} o X o o fonksiyonelinin grafiği olan grf ={(x,f (x) ) ; x e E} o o kümesinin ExlR nin birer alt kümesi olacağını düşünerek, E nın normunun x noktasında Frechet türevlenebilir olması için bu o 5 iki küme arasında nasıl bir bağıntı olması gerektiğini ince ledik. 4.6. Teoremin sadeleştirilmiş şekli olan 4.7. Sonuç ile, E nın normunun bir x G S (E) noktasında Frechet türev lenebilir olması için gerek ve yeter koşulun, u = (x, llx II) d(u,grf ) ve u = (x, 11x11) G ExlR olmak üzere, lim°- = 0 oldu- üi ->. (0 _ II co-w II. ° ° ğunu ispat ettik. Bu çalışmayı, E in normunun Frechet türevlenebilirliğine başka bir çözüm getiren 4.11. Sonuç ile bitirdik. 2. Bölüm 3. kısım ile 3. Bölüm (3.4. Teorem hariç) ve 4. Bölümün özgün olduğu kanısındayız. Konunun iyi anlaşılması ve bir bütünlük sağlanması için, sık sık alıntı yapmak yerine,vi önceden bilinen bazı önerme, önteorem ve teoremleri konu ile uyumlu duruma getirerek ispatlarını açık bir şekilde vermeyi yararlı bulduk. Bunlardan bazılarının ispatlarını tamamen (2.11. önerme ve 2. 22. Teorem gibi) bazılarınınkini de kısmen (2.18. önteorem ve 2.20. Teorem gibi) değişik yollardan kendimiz yaptık.

71 ABSTRACT In this work, which contains four chapters, we shall discuss a subject on which not many publications have been issued. The subject can be briefly summarized as follows: If E is a reflexive real normed linear space, under what conditions is the norm of the topological conjugate space E of E Frâchet diff erentiable? The first chapter provides preliminary background material necessary for our work. In the second chapter, following a characterization of the Frâchet differentiability of the norm of a normed linear space, a problem which has also been studied by Shmul'yan, Cudia, Restrepo, Giles and Dies tel, we work on the subreflexivity of Banach spaces and Bishop-Phelps theorem. Finally in Theorem 2.25, we prove that the image of a norm dense subset of the unit sphere S(E) of a Banach space E under all support mappings (E,B B) -* (E,0 B) which are continuous on S(E) is a norm dense subset of the unit sphere S (E ) of E, and we give the important theorem `If the norm of E is Frâchet diff erentiable then E is reflexive` as a corollary (Corollary 2.26). In the third chapter we begin with an example which shows that the converse of Corollory 2.26 is not true even for finite dimensional spaces. In Corollary 3.5, we prove72 that if E is a finite dimensional roturnd space, then the norm of E is Frâchete dif ferentiable. By means of Example 3.7, we show that this property is not sufficient for infinite dimensional spaces. Finally in Theorem 3.9, which gives a characterization of Fr§chet differentiability of the norm of E, we prove that `If E is a reflexive and roturnd normed linear space, then the norm of E is Frâchet dif ferentiable at a point f 6 S(E ) if and only if the mapping H:E xTR -* IR, r If 4- Xgll-Iif D -22_, if x * 0 defined by H(g,X) = ^ Df +ygfl-0f I lim --, if X =. 0 ` y + 0 y is uniformly continuous on S(E )x[-l,l]`. In the last chapter, we investigate what kind of relation should hold between the graph {(x,BxD); x G e} of the norm of E and the graph {(x,f (x) ) : x G E} of f, where f is an o xo xo element of the set D(xQ) = {f G S (E*) s II f II = f(x )} in order that the norm of E be Frechet dif ferentiable at a point xQ G S(E). In Corollary 4.7, which is a simplified form of Theorem 4.6, we show that `If w = (x,llx II) and o o' o w = (x,IIxB) G ExIR then the norm of E is Frechet differentiable d(w,grfx ) at xQ if and only if lim- =0. We end this work w-»-w llw-w II o o with corollary 4.11 which gives another solution to the question of the Frechet differentiability of E*.73 To the best of our knowledge, the third part of the second chapter, the third chapter (Theorem 3.4 excluded) and the fourth chapter are new. In order that the work be self contained we have prefered to present some known propositions, lemmas and theorems to the subject together with our own proofs instead of relying only on references. We have proved some of these completely (such as proposition 2.11 and Theorem 2.20) and some of them partially (such as Lemma 2.18 and Theorem 2.20).