Konveks fonksiyonların özellikleri ve altdiferansiyel

Abstract

IV ÖZET üç bölümden oluşan bu çalışmada genel olarak, konveks fonksiyonların özellikleri ve altdiferansiyel kavramları incelendi. Çalışma boyunca boş olmayan bir konveks küme üzerinde tanımlı konveks fonksiyonlar alındı. Birinci bölümde önbilgiler ve bu alanda yapılan çalışmalarla ilgili bazı önemli tanım ve teoremler ile bunlara ilişkin kaynaklar sunuldu. ikinci bölümde R de tanımlı konveks fonksiyonların çeşitli yollarla karakterize edilebilirliği, süreklilik ve türevlenebilirliği, altdife- ransiyellenebilirliği ve bazı fonksiyonel işlemler altında kapalılı ğından sözedildi. Bölümün son kesiminde eşlenik konveks fonksiyonun tanımı ve bunlarla ilgili teoremler verildi. Konveks bir fonksiyonun kapalı olmasının, tanım kümesinin uç noktalarında sürekliliği ile ilgili olduğu belirtildi. Ayrıca altdiferansiyel tanımı gereği, 3f nin küme değerli bir fonksiyon olduğu tek değerli olmasının f türevi varken olanaklı olduğu kanıtlandı ve örnekler verildi. üçüncü bölümde ise, ikinci bölümde incelenen özelliklerin sonsuz bo yutlu bir normlu uzayda ne şekilde varolduğu araştırıldı ve bunlarla ilgili teoremler verildi. Son kesimde f fonksiyonu sürekli ve konveks ise, altdiferansiyellenebildiği; eğer f bir x noktasında altdiferan- siyellenemiyor ise, 9f(x) =0 olduğu belirtildi.

SUMMARY In this work, which consists of three chapters, the general properties of convex functions and the concept of subdifferenti ability are out lined. Throughout the work, we assumed the finite valued convex func tions on a non-empty convex set. In the first chapter, some important definitions, theorems and a chronological development of convex functions are cited. Chapter 2 dealts with the characterization of convex functions on ]R. The properties of continuity, differentiability, subdifferenti ability and the closedness under the functional operations are investigated here. The last section of this chapter is devoted to the notion of conjugate convex functions. It is shown that the closedness of a convex function depends on the continuity at each endpoint of its domain. The chapter concludes with the result that if f is a differen tiate convex function then 3f is a single valued function. Chapter 3 concerns with the generalization of the results of chapter 2 to the convex functions defined on an infinite dimensional normed space. It is also shown that if f is a continuous, convex function then it is subdifferentiable, conversely if f is not subdifferenti able at a point x0 then 9f(x0) is empty.