Faber polinomları ve yaklaşım özellikleri

Abstract

ÖZET `Faber Polinomları ve Yaklaşım Özellikleri` adlı bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm diğer bölümlere hazırlık niteliğinde olup; bu bölümde, analitik fonksiyonlar, kompleks değişkenli fonksiyonların eğrisel integrali, fonksiyon dizileri ve fonksiyon serileri, düzgün yakınsaklık, kuvvet serileri, Taylor serileri, Laurent serileri ve konform eşdeğerlilik ile ilgili bazı tanım ve teoremler (ispatsız) verildi. İkinci bölümde, kompleks düzlemde sınırı bir Jordan eğrisi olan bir B kontiniumu için n. dereceden FB(z) Faber polinomları tanıtıldı ve onların integral gösterimleri verilerek, Faber polinomları ve Faber polinomlarının türevleri ile ilgili bazı özellikler sunuldu. Ayrıca B nin £anFn(z) Faber polinomları serisi tanımlanarak, bu tipten serilerin CB nin R>1 yarıçaplı LR seviye çizgisi içinde düzgün yakınsaklığı ile Lr seviye çizgisi içinde analitik olan bir fonksiyonunun Faber polinomlarının bir serisine açılabileceği gösterildi. Üçüncü bölümde, yarıkonform dönüşüm, yarıkonform eğri, yarıkonform yansıma kavramlarının bilinen tanımları ile yarıkonform eğri ile sınırlı, sınırlı bir bölgede analitik ve kapanışında sürekli fonksiyonlar için Belyi integral gösterimi verildikten sonra, bu gösterimden faydalanılarak CB nin R>1 yarıçaplı LR seviye çizgisi içinde analitik bir fonksiyonun İ^F^z) şeklinde Faber polinomlarının n=l türevlerinin bir serisine açılabileceği gösterildi. Anahtar Kelimeler: Analitik fonksiyon, Konform dönüşüm, Kontinium, Jordan eğrisi, Faber polinomları, seviye çizgisi, yarıkonform dönüşüm, yaırkonform eğri, yarıkonform yansıma, Belyi integral gösterimi v

SUMMARY This study entitled as ` Faber polynomials and their approximation properties` consists of three chapters. In the first chapter which is a preliminary form to the next ones some definitions and theorems ( without proofs) concerning the analytic functions, line integrals of complex valued functions, series of functions and sequece of functions, uniform convergence, power series, Taylor series, Laurent series and conformal equivalence are given. In Chapter 2, the Faber polynomials Fn(z) of degree n for a continiuum B on the complex plane with a Jordan boundary are introduced, and then by giving their integral representations, some properties concerning the Faber polynomials and their derivatives are presented. In addition, by defining Faber CD polynomial series 2>nFn(z) for B it is shown that those types of series are n=0 uniformly convergent in the contour line 1^, with radius R>1, of CB and that a function which is analytic in the contour line Lr can be expanded in a series of Faber polynomials. In Chapter 3, after giving the known definitions of a quasiconformal mapping, a quasiconformal curve, a quasiconformal reflection, and also Belyi's integral representation for functions which are analytic in a region G with quasiconformal boundary and continious on G, it is proved that a function which is analytic in the contour line Lr of CB can be expanded in a series of the form £*.F;(z). Key Words: An analytic function, a conformal mapping, a continiuum, a Jordan curve, Faber polynomials, a contour line, a quasiconformal mapping, a quasiconformal curve, a quasiconformal reflection, Belyi's integral representation. VI