İki yansıtan bariyerli yarı-Markov rasgele yürüyüş süreci

Abstract

Özellikle stok kontrol, kuyruk ve güvenilirlik teorilerinin pek çok önemli problemi, iki bariyerli rastgele yürüyüş süreçleri yardımıyla ifade edilir. Hem teorik hem de pratik yönden önemli olmasından dolayı, bu süreçler hakkında pek çok ilginç çalışma yapılmıştır. Fakat bu çalışmaların çoğu, sonlu durum uzayına sahip rastgele yürüyüş süreçleri için sınır-değer problemlerine aittir. Sınır-değer problemleri önemli olmasına rağmen, ele alman süreçlerin kendi karakteristiklerinin incelenmesi de önemlidir. Bu konuda da bazı çalışmalar mevcuttur. Ancak bu çalışmaları daha da ilerletmek gerekliliği vardır. Özellikle bariyerlerin her ikisinin de yansıtan olması durumunda, rastgele yürüyüş süreçleri daha az incelendiğinden, bu süreçlerin kurulması ve incelenmesi hem teorik hem de pratik yönden önemlidir. Bundan başka, rastgele yürüyüş süreçlerinin yerine, bunlardan daha genel bir sınıf olan yarı-Markov rastgele yürüyüş süreçlerine bakmak daha ilginçtir. Hazırlanan bu çalışmada, 0 (sıfır) ve ?(?> 0) -seviyelerinde iki yansıtan bariyere sahip yarı-Markov rastgele yürüyüş süreci X(t) ve bu sürecin önemli bir sınır fonksiyonali olan, sürecin ilk kez aşağı yansıtan bariyerden yansıma anı t, matematiksel olarak kurulmuş, t, rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu ve momentleri için açık formüller verilmiştir. X(t) sürecinin bir boyutlu stasyoner olmayan dağılım fonksiyonları bir (Tn)n?o yenileme süreci ve bir {Yn}n?o rastgele yürüyüş sürecinin belli olasılık karakteristikleri yardımıyla ifade edilmiştir. Sürecin iki sıçrama anı arasındaki sürenin üstel ve Erlang dağılımına sahip olması durumla rında, X(t) sürecinin bir boyutlu dağılım fonksiyonu için aşikar bir formül verilmiştir. Ayrıca, en genel şartlar altında, X(t) süreci için ergodik teorem ispatlanmış ve sürecin en genel ergodik dağılım fonksiyonu, {Tn}n?o ve {Yn}n?o süreçlerinin olasılık karakteristikleri yardımıyla ifade edilmiştir. Son olarak, ele alınan sürecin dizisi için limit teoremi ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler : Stokastik Süreç, Rastgele Yürüyüş Süreci, Yenileme Süreci, Yarı- Markov Rastgele Yürüyüş Süreci, Yansıtan Bariyer, Tutan Bariyer, Laplace Dönüşümü, Üstel Dağılım, Erlang Dağılımı, Ergodik, Limit Süreci. IV

The Semi-Markov Random Walk Process With Two Reflecting Barriers In particular, a number of very interesting problems of stock control, queuing and relia bility theories can be expressed by means of random walk processes with two barriers. Nume rous studies have been done about these processes because of their theoretical and practical importance. But most of these studies belong to the boundary-value problems for the random walk processes which has a finite state space. The boundary-value problems are important, so are the investigation of proper characteristics of processes at hand. For this reason although there are some studies on proper characteristics of random walk processes with two barriers, more detailed studies in this field have to carried out. In particular, random walk processes with two reflecting barriers are not studied well. Therefore, it is necessary to construct and investigate this process since it has theoretical and practical importance. Moreover, it is more interesting to look at semi-Markov random walk processes that is a general class instead of random walk processes. In this study, the semi-Markov random walk process X(t) that has a denumerable space with two reflecting barriers on the O(zero)-level and on the ?(?> 0) -level and the important boundary functional of it, t, -the first reflection moment of the process from the lower reflec ting barrier are constructed mathematically, explicit formulae are given for the moment gene rating functions of x,. One dimensional non-stationary distribution functions of X(t) are exp ressed by means of the probability characteristics of a renewal process (Tn }n?o and a random walk process {Yn )n?o. In the special cases in which the duration between two jump instants has exponential or Erlang distributions explicit formulae are obtained for one dimensional distri bution functions of X(t). Furthermore, under the most general conditions, the ergodic theorem for the process X(t) is proved and the most general ergodic distribution function of the process X(t) is given by means of the probability characteristics of the processes {Tn }n?o and { Yn }n?o Finally, the limit theorem is proved for the sequence of the process mentioned earlier. Key words : Stochastic Process, Random Walk Process, Renewal Process, Semi-Markov Random Walk Process, Reflecting Barrier, Delaying Barrier, Laplace Transform, Exponential Distribution, Erlang Distribution, Ergodic, Limit Process. Y