Belirtisiz ve iki topolojili uzaylar

Abstract

ÖZET Birinci bölümde, tezin esas kümeleri olan fuzzy latis L ve bunun bir tabanı olan moleküller kümesi M hakkında genel bilgiler ve rildikten sonra L üzerindeki fuzzy topolojinin bilinen tanımı ha tırlatıldı ve (L,T) 'nin f-açık ve f-kapalı kümelerinden yararla narak M üzerindeki u ve v topolojik yapıları kuruldu ve dola- yısiyle (M,u,v) ikili topolojik uzayı elde edildi. İkinci bölüm üç kısımdan oluşmuştur. Birinci kısımda, fuzzy topo lojik uzaylarda B. Button ve I.Reilly tarafından tanımlanan fuzzy ayırma aksiyomları ile amacımıza uygun olan moleküler fuzzy ayır ma aksiyomları tanımlandı ve bunların aralarındaki ilişkiler yü zeysel olarak incelendi. İkinci kısımda, ikili topolojik uzaylar da J. Kelly tarafından tanımlanan ve daha sonra diğer yazarlar ta rafından geliştirilen ikişer ayırma aksiyomları ile sıra-ikili topoljik uzay (M,^,u,v) için L.M.Brown tarafından tanımlanan sıra -ikişer ayırma aksiyomları verildi ve aralarındaki ilişkiler be lirtildi. Üçüncü kısımda ise, birnici kısımda (L,T) için verilen fuzzy ayırma veya moleküler fuzzy ayırma aksiyomları ile ikinci kısımda (M,u,v) veya (M,£,u,v) için veilen ikişer veya sıra-iki- şer ayırma aksiyomları arasında belirgin sonuçlar ortaya kondu. Üçüncü bölümde, genel topolojik uzaylarda bilinen ayrılamaz ve sober uzay tanımları hatırlatıldıktan sonra, bu tanımların (M,u) 'deki karşılıklarından yola çıkarak (L,T) 'deki karakterizasyon- ları araştırıldı ve buna bağlı olarak moleküler sober kavramı tanımlandı. (L,T) ile (M,v) arasında benzer ilişkiler elde etmek için, (M,v) 'de tanımlanan X-ayrılamaz ve X-sober kavramlarının (L,T) içindeki karşılıkları olarak dıştan ayrılamaz ve moleküler dıştan sober tanımları yapıldı ve aralarındaki ilişkileri veren sonuçlar bulundu. Daha sonra, (L,T) 'nin moleküler sober ve moleküler dıştan sober olması koşulu altında ` (M,v) 3C-soberdır ? (M,v) soberdır.` olduklarını gösteren M 'den M 'ye V ve V dö nüşümleri tanımlandı ve bazı özellikleri belirtildi. Bu bölümün11 X sonunda, L =1 fuzzy latisinin hem moleküler sober hem de mole- küler dıştan sober olamayacağı, ancak bu iki özelliği birarada sağlayan uzayların varolacağını gösteren bir örnek verildi. Dördüncü bölüm iki kısımdan oluşmuştur. Birinci kısımda, (M,u,v) 'de tanımlı ikili developable kavramından yola çıkarak (L,T) 'de bir karşılığını bulmak için T-ikili örtü tanımı verildi ve bunlar arasındaki ilişkileri ortaya koyan karakterizasyonlar elde edil di. İkinci kısımda, M üzerinde ve (M,u,v) ile uyumlu bir p-q met riğin tanımından başlayarak yine M üzerinde ve T ile uyumlu olu şunu veren karakterizasyonlar bulundu ve ilişkileri incelendi. Daha sonra, M üzerinde tanımlı ve T ile uyumlu bir p-q metriğin varlığı için yeterli bir koşul verildi, ancak özel bir durumda bu koşulun gerekli olacağı da gösterildi. Son bölüm de iki kısımdan oluşmuştur. Birinci kısımda, (L,T) 'de Chang anlamındaki fuzzy-tıkız uzay tanımı hatırlatıldıktan sonra (L,T) 'deki fuzzy-tıkızlık ile (M,u) 'daki tıkızlık kavramı ara sında çift yönlü bir ilişki elde edilmesine rağmen, (L,T) 'deki fuzzy-tıkızlık ile (M,v) 'deki tıkızlık kavramı arasındaki iliş kinin çift yönlü olmadığını gösteren bir örnek verildi, ikinci kısımda, (M,u,v) 'deki ortak tıkızlık kavramının (L,T) içindeki bir karakterzasyonu elde edildi ve (L,T) 'de 4. bölümde tanımla nan T-ikili Örtü kavramı ile (M,u,v) 'de tanımı bilinen açık iki li örtü kavramı arasındaki ilişki ortaya konmuştur. Daha sonra da burada elde edilen sonuçların M 'nin herhangi bir K alt kümesi i- çin alınabilecek (K,u`,vK) ile K 'nm L içindeki karşılığı olarak verilen L` veüzer indeki fuzzy ditopoloji (LK,T`,CK) arasında olamayacağını gösteren bir örnek verilmiştir.

Ill SUMMARY In the first chapter we introduce our principle objects of study, namely a fuzzy lattice L and its base M of molecules. We recall the definition of a fuzzy topology T in L, and making use of the f-open and f -closed sets for the fuzzy topological space (L, T), define two topologies u and v on the set M, thereby obtaining a bitopological space (M, u, v). The second chapter consists of three sections. İn the first of these the point free fuzzy separation axioms of B. Button and I. Reilly are recalled, slightly modified to give pointed `molecular` fuzzy separation axioms more suited to our purpose, and the relations between these axioms briefly outlined. In the second section a short review is made of the pairwise separation axioms for bitopological spaces introduced by J. Kelly and other authors, and of the ordered pairwise separation axioms defined by L. M. Brown for a partially ordered space (X, £, u, v). Some of the relations between these axioms are also mentioned. İn the third section the relations between the fuzzy or molecular fuzzy axioms for the fuzzy topological space (L, T) mentioned in the first section, and the pairwise or ordered pairwise separation axioms for (M, u, v) or (M, £, u, v) respectively, discussed in the second section, are investigated, and several important results stated and proved. The third chapter begins with a reminder of the notions of irreducible closed set and the sober property for general topological spaces, and the notion of molecular fuzzy sober for a fuzzy topological space (L, T) is then defined by using the relation between (L, T) and (M, u) to give a characterization in (L, T) of the sober property for (M, u). İn order to obtain a corresponding result for (M, v), the notions of üT-irreducible set and üf-sober for the space (M, v), and the notions of outer irreducible fuzzy open set and molecular outer fuzzy soberIV for (L, T) are defined and shown to correspond. Following this fuzzy topologies (L, T) which are both molecular fuzzy sober and molecular outer fuzzy sober are considered. By showing the existence of maps ty> and <t> from M to M satisfying various special properties, it is verified that in this case iif-sober is equival ent to sober for the space (M, v). This chapter concludes by X showing that a fuzzy topology in L = I can never be both molecular fuzzy sober and molecular fuzzy outer sober, but an example is given to show that this is possible in other fuzzy lattice. The fourth chapter is composed of two sections. In the first of these the notion of a bidevelopment for the bitopological space (M, u, v) is considered, and in order to obtain a characteriza tion in (L, T) the notion of T-dual cover is defined and studied. In the second section, the notion of a p-q-metric on M being compatible with the fuzzy topology T on L is defined in terms of the compatibility of the p-q-metric with the bitopological space (M, u, v), and an internal characterization obtained, Finally a sufficient condition for the existence of a compatible p-q-metric for (L, T) is given in terms of T-dual covers, and a situation is described where this condition is also necessary. The final chapter is also divided into two sections. The first of these begins with a reminder of the definition of fuzzy compactness in the sense of Chang, and it is shown that this corresponds to the compactness of (M, u). That there is only a one sided relation with the compactness of (M, v) is shown with an example. In the second section an internal characterization in (L, T) of the joint compactness of (M, u, v) is given, and this property is also characterized in terms of T-dual covers. Finally it is shown that the result of restricting one's attent ion to a subset K of M is a fuzzy `ditopological` space (LK, T`, C`), and an example is given to show that the internal characterization in (L, T) of the joint compactness of (M, u, v) does not generalize to (L`, T`., C`) and (K, u`, v`) in general. KKK IV K