Compactness in ditopological texture spaces

Abstract

DITOPOLOJIK DOKU UZAYLARDA TIKIZLIK Muhammed Maroof Gohar Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Topoloji Anabilim Dalı. ÖZ Bu tezin amacı, di-topolojik doku uzaylarında kompaktlık kavramını araştır maktır. Tez altı bölümden oluşuyor. Birinci bölümde giriş yapıldı, ikinci bölümde, sonraki bölümlerde kullanılmak üzere temel bilgiler verildi. Üçüncü bölümde di-topolojik doku uzaylarında tıkızlık ve ko-tıkızlık ince lendi. Bu özelliklerin süreklilik ve örtenlik koşulları sağlayan di-fonksiyonlar altında korunması araştırıldı. Ayrıca bu bölümde Mrowka'nın karakterizasyon teoremi ve Tychonoff çarpım teoremi di-topolojik doku uzaylarında ispatlandı. Dördüncü bölümde di-topolojik doku uzaylarında dengeli ve ko-dengeli kav ramları tanımlandı ve bu uzayların kompakt topolojik uzayların bazı aranan özelliklerine sahip oldukları gösterildi. Özellikle ayırma aksiyomları ile ilgili bir çok sonuç ortaya çıkarıldı. Bir dengeli di-topolojik doku uzayında tıkız kümeler uygun koşullar altında pseudo-kapalı kümeler kullanılarak karakterize edildi. Aynı işlem bunun duali olan ko-dengeli uzaylar için de yapıldı. Son olarak süreklilik ve örtenlik koşullarını sağlayan di-fonksiyonlar altında dengelilik ve ko-dengelilik özelliklerinin korunduğu gösterildi. Beşinci bölümde tıkız, ko-tıkız, dengeli ve ko-dengeli özelliklerini sağlayan di-topolojik doku uzayları araştırıldı. Son bölümde, topolojik uzaylarda çalışılan kuvvetli tıkızlık, yakın tıkızlık ve zayıf tıkızlık özellikleri di-topolojik doku uzaylarında genelleştirilmiştir ve bu uzaylar hakkında bir çok sonuç verildi. Anahtar Kelimer: Kompakt, Ko-Kompakt, Dengeli, Ko-dengeli, Kuvvetli kompakt, Kuvvetli ko-kompakt, Yaklaşık kompakt, Yaklaşık ko- kompakt, Hem en hemen kompakt, Hemen hemen ko-kompakt. Danışman: Prof. Dr. L. Micheal BROWN, Hacettepe Üniveritesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Topoloji Anabilim Dalı.

IV COMPACTNESS IN DITOPOLOGICAL TEXTURE SPACES Muhammed Maroof Gohar Hacettepe University, Department of Mathematics, Topology Section. ABSTRACT The aim of this thesis is to investigate the concept of compactness in the frame work of ditopological texture spaces. This work consists of six chapters. The first chapter is a short introduction. In the second chapter, preparatory infor mation is given that will be used latter. In the third chapter compactness and cocompactness in ditopological tex ture spaces are investigated. Preservation of these properties under surjective difunctions satisfying appropriate continuity conditions is considered, and gen eralizations of Mrowka's characterization theorem and versions of the Tychonoff product theorem are given for both compact and cocompact ditopological tex ture spaces. In chapter four the dual notions of stable and costable ditopologies are con sidered. It is shown that such spaces have some of the nice properties of com pact topological spaces. In particular many results concerning separation ax ioms are shown to have appropriate generalizations. Under suitable conditions the compact sets of a stable ditopological space are characterized in terms of pseudo-closed sets, and dual results are given for costable spaces. Finally, it is shown that stability and costability are preserved under surjective difunctions satisfying appropriate continuity conditions. In chapter five ditopological texture spaces having all of the four properties compact, stable, cocompact and costable are investigated. Three of the known generalizations of compactness for topological spaces - strong compactness, near compactness and weak compactness - are placed in a ditopological setting in the final chapter. This chapter contains many results concerning these notions of compactness in ditopological texture spaces. Keywords: Compactness, Co-compactness, Stability, Co-stability, Dicom- pactness, Strong compactness, Strong co-compactness, Near compactness, Near co-compactness, Almost compactness, Almost co-compactness. Advisor: Prof. Dr. L. Micheal BROWN, Hacettepe University, Department of Mathematics, Topology Section.