Determination of the optimal investmentand liability for an insurer with dynamic programming

Abstract

Sigorta şirketleri, sigortalılara karşı yükümlülüklerini yerine getirebilmek ve faaliyetlerini sürdürebilmek için optimal yatırım ve risk kontrol stratejilerine karar vermelidir. Risk kontrol stratejileri sigorta şirketlerinin faaliyetleri sonucunda oluşan hasar ödemelerini etkileyen faktörler olarak değerlendirilebilir. Bu faktörler sigortacının sigortaladığı toplam teminat tutarı, hasar frekansı veya şiddeti ve reasürans paylaşımı olarak tanımlanabilir.Yapılan bu çalışmanın amacı, bir sigorta şirketinin optimal yatırım stratejisi ve yükümlülük oranı için farklı fayda fonksiyonu formları altında nihai varlığı maksimize ederek kesin çözümler elde etmektir. Çalışma logaritmik, güç ve üstel fayda fonksiyonu formları altında sürdürülmüştür. Optimal yatırım stratejisi ve yükümlülük oranı için iki farklı yatırım seçeneği ve risk sürecinin, sabit ve değişken sıçrama (jump) büyüklüğüne sahip sıçrama (jump-diffusi-on) süreci izlediği varsayımları altında HJB ve MP yöntemleri ile kesin çözümler elde edilmiştir.Birçok ekonomist ve araştırmacı tarafında büyük buhrandan sonraki en büyük finansal kriz olarak değerlendirilen 2007-2009 finansal krizi AIG ve Lehmann Brothers gibi önemli finansal kuruluşların iflasına sebep olmuştur. ABD faaliyet gösteren önemli sigorta şirketlerin-den biri olan AIG'yi inceleyen Stein [1], finansal piyasalar ile sigortacının yükümlülükleri arasındaki negatif korelasyonun göz ardı edilmesinin iflasa sebep olan temel faktörlerden biri olarak tanımlamıştır.Bir sigorta şirketi için optimal yatırım stratejisi ve yükümlülük oranı Zou ve Cadenillas [2] tarafından martingale ve HJB yöntemleri ile elde edilmiş ve finansal piyasalar ile sigortacının yükümlülükleri arasındaki negatif korelasyon dikkate alınmıştır. Ancak, Zou ve Cadenillas [2] tarafından kullanılan varlık süreci özellikle hayat-dışı branşında hasar ödenmelerindeki değişkenliği daha iyi yansıtabilmek için revize edilmiştir.Sigorta şirketi yatırımlarını finansal piyasalarda riskli ve risksiz olmak üzere iki faklı yatırım seçeneğine yatırım yapabileceği varsayılmıştır. Risksiz yatırım seçeneğinin sabit bir faiz getirisi garanti etmektedir. Geometrik Brownian hareketi izleyen riskli yatırım seçeneği ise sigortacının yükümlülükleri ile negatif korelasyon varsayımı altında değişken bir getiri sağlamaktadır.Klasik risk teorisine göre hasar ödemeleri kesikli süreçler izlemektedir. Ancak sürekli süreçler altında karmaşık kontrol problemleri için kesin çözümler elde etmek daha kolaydır. Bunu yanı sıra, bileşik Poisson süreçlerinin limit durumunda L/'evy süreçlere yakınsadığı gözlenmiş-tir. Bu nedenlerle Zou ve Cadenillas tarafından yapılan çalışmada [1] hasar ödemelerinin sabit parametreli bir sıçrama (jump-diffusion) süreç izlediği varsayılmıştır. Daha öncede belirtildiği gibi hayat ve emeklilik branşlarından farklı olarak hayat-dışı poliçeleri için hasar ödemeleri değiş-ken olarak meydana gelmektedir. Bu değişkenliği modelde daha iyi ifade edebilmek için sıçrama (jump) büyüklüğünün, hayat-dışı poliçeleri için hasar ödemelerinin modellenmesinde sıklıkla kullanılan üstel ve gamma dağıldığı varsayılmıştır.Çalışmanın Birinci Bölümünde tezin amaç ve kapsamına yer verilmiştir.Çalışmanın İkinci Bölümünde yatırım seçenekleri, yatırım dinamikleri, risk süreci ve sigorta şirketinin varklık süreci tanımlamıştır. Varlık süreci için sigorta primleri ve yatırım getirileri pozitif nakit akışı, hasar ödemeleri ise negatif nakit akışı olarak tanımlamıştır. Sabit ve değişken sıçrama (jump) büyükleri altında sigortacını varlık süreci için iki farklı süreç elde edilmiştir.Üçüncü Bölümde sabit sıçrama (jump) büyüklüğü varsayımı altında optimal yatırım stratejisi ve yükümlülük oranı için logaritmik, güç ve üstel fayda foksiyonları altında, Zou ve Cadenillas [2] tarafından elde edilen kesin çözümler HJB ve MP yöntemleri ile elde edilmiştir.Dördüncü Bölümde değişken sıçrama (jump) büyüklüğü altında optimal yatırım stratejisi ve yükümlü-lük oranı için HJB ve MP ile üstel fayda fonksiyonu altında kesin çözümler elde edilmiştir. Logaritmik ve güç fayda fonksiyonları altında optimal kontroller için nümerik teknikler ile analitik sonuçlar elde edilebilir. Ancak bu çalışmada nümerik teknikler değerlen-dirilmemiştir. Bölüm 4.4'te sabit ve değişken sıçrama (jump) büyüklükleri varsayımları için farklı fayda fonksiyonları altında elde edilen sonuçlar ve finansal piyasalar ile sigortacının yükümlülükleri arasında-ki negatif korelasyonun ve riskten kaçınma parametresinin optimal kontrollere etkisi nümerik olarak karşılaştırılmıştır.Beşinci Bölümde sonuç ve önerilere yer verilmiştir.Anahtar Kelime: Hamilton-Jacobi-Bellman, Pontryagin Maksimum Prensibi, Dinamik Programlama, Kontrol Teori, Sıçrama Süreci.

We obtain optimal control/optimal investment strategy and liability ratio for a insurer who hedges herself in a financial market composed of one riskless and one risky asset. Insurer's risk 's assumed to follow jump diffusion process. Relaxing the assumption of constant parameter jump for the claim sizes, we search explicit solutions under different utility forms and with different probability distributions assigned to claim size. Both the Hamilton-Jacobi-Bellman and Maximum Principle tools are employed to solve the stochastic control problems. Explicit solutions are obtained Gamma and Exponential distributed claim sizes for Exponential Utility form.