Halkalar ve modüller üzerindeki genişleme özellikleri

Abstract

Bu çalışmada, her alt modülü bir dik toplananda esas olan ya da tümleyen her alt modülüdik toplanan olan modüllerin, yani CS-modüllerin, temel özellikleri ile bu modül sınıfınınçeşitli genelleştirmeleri incelenmiştir.Çalışma dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, literatürde yer alan ve çalışmanın ilerleyenbölümlerinde kullanılan temel kavramlardan esas ve tümleyen alt modüllere yer verilmiştir.Ayrıca bu bölümde özellikle CS modül literatüründe önemli bir yer tutan injektiflikkavramına değinilerek, injektif modüllerin genel ve temel özellikleri bütünlüğün sağlanmasıaçısından kanıtlarıyla birlikte ifade edilmiştir.Ikinci bölümde ele alınacak konuların dayandığı kavram modüllerde injektifliktir. Bu bağlamda,yarı-injektif, sürekli, yarı-sürekli ve CS-modül kavramları tanıtılıp, bu modül sınıflarıhakkında literatürde yer alan önemli ve kullanışlı sonuçlara yer verilmiştir.Çalışmanın üçüncü ve dördüncü bölümleri özgün sonuçlar içermektedir. Bu anlamda üçüncübölümde, CS modüllerin genelleştirmeleri olan C11 (yani, her alt modülünün dik toplananolan bir tümleyeni var olan modüller) ve C12 (yani, her alt modülü bir dik toplanana esasolarak gömülebilen modüller) modül sınıflarının C2 ve C3 koşullarıyla birlikte elde edilenbir takım sonuçları yer almaktadır. Ayrıca C12 modül kavramının yarı basit alt modüllereindirgenmesiyle elde edilen zayıf C12 modül sınıfının dik toplam ve dik toplanan özellikleri araştırılmıştır. Bunun yanı sıra, zayıf C12 modül olup C12 modül olmayan örneklere yer vererek, literatürde yer alan açık bir soruya yanıt verilmiştir. Dördüncü bölümde, tam değişmez ve projeksiyon değişmez alt modüllerin temel özelliklerineyer verilerek, projeksiyon değişmez alt modüller yardımıyla tanımlanan pi-genişleyenmodüller sınıfı incelenmiştir. pi-genişleyen modüllerin dik toplamlarının pi-genişleyen olduğu, fakat ilgili özelliğin dik toplananlara doğrudan taşınmadığı belirtilmiştir. Bu amaçla,pi-genişleyen modüllerin dik toplananlarının hangi koşullarda pi-genişleyen olduğu araştırılmıştır. Ayrıca Abel endomorfizma halkasına ve C2 (C3) özelliğine sahip pi-genişleyen modüllerinayrışmaz ayrışımı elde edilerek, bu özellikteki modüller için sonlu değişim özelliğinintam değişim özelliğini gerektirdiği gösterilmiştir.

In this work, the fundamental properties of generalizations of CS modules are investigated.Recall that a module M is CS module if and only if every submodule of M is essential in adirect summand or equivalently, every complement submodule of M is a direct summand ofM.This work consists of four chapters. In the first chapter, the basic and useful properties ofcertain kind of submodules in module theory which are named as essential and complementsubmodules are given. Since injective modules have a significant role in CS-module literature,we mention the advanced properties of injective modules with their proof for the sakeof completeness.The origin of the second chapter is based on generalizations of injectivity. Thereupon the notion of quasi-injective, continuous, quasi-continuous and CS-modules are presented and the main properties of these aforementioned classes take part in this section. Third and fourth chapters include original results about this work. In the third chapter, theproperties of the generalization of CS modules which contains C11 (i.e., every submodulehas a complement which is a direct summand) and C12 (i.e., every submodule is essentiallyembedded in a direct summand) modules with C2 and C3 conditions are examined. Moreover,we focus our attention on direct sums and direct summands of weak C12 modules whichis a kind of generalization of C12 modules in terms of semisimple submodules. To this end, we prove that being weak C12 is closed under direct sums. Amongst other results, we provideseveral counter examples for the open problem whether weak C12 implies C12 condition. In the last chapter, fully invariant and projection invariant submodules are given as well asthe class of pi-extending modules which is defined by using the restriction of the CS conditionon projection invariant submodules. Additionally, the class of pi-extending modulesis closed under direct sums however the forenamed property is not inherited by direct summands.In contrast, we prove when the direct summands of a pi-extending module enjoy withthe property. Likewise, we show that under some module theoretical conditions pi-extendingmodules with Abelian endomorphism rings have indecomposable decompositions. Furthermore,we apply our former results, under suitable assumptions, the finite exchange propertyimplies the full exchange property.