Equidistant cümlesinin balanslığı üzerine

Abstract

ÖZET iki bölümden oluşan bu çalışmanın II. bölümünde esas olarak, n boyutlu Rn öklid uzayının o orijin noktasını bir iç nokta olarak kapsayan H konveks cismine ait uzaklık fonksiyonu/2/ f(p)= înf U: />0, p 6 AH} (p 6 Rn) olmak üzere, a,b, 6 Rn a^b için E(a,b)= {p : p 6 Rn, f(p-a)* f(p-b)} şeklinde tanımlanan Equidistant cümlesinin/5/ hangi şartlar altında balanslı bir cümle olduğunu inceledik ve bununla ilgili olarak bir teorem vererek diğer özelliklerini elde ettik. Gerçektende S= {a: a<l, a6 R} ise SBCB şartını gerçekleyen B cümlesinin balanslı bir cümle ve balanslı bir cümlenin de o-simetrik olduğu bilinmektedir. Ayrıca `konveks bir cümlenin balanslı olması için gerek ve yeter şart simetrik olmasıdır.` Sonucu göz önüne alındığında, öncelikle o orijin noktasının hangi şartlar altında E(a,b) cümlesinin bir iç noktası olacağını tesbit ettik. Daha sonra E(a,b)'nin tanım ifadesindeki f(p) uzaklık fonksiyonuna göre o-simetrik (sonuçta balanslı) olmasını sağlayacak sonucumuzu elde ettik. Bu amacımıza ulaşmak için I. bölümde konveks cümleler ile bir H cis mine ait f(p) uzaklık fonksiyonu ve f(p) fonksiyonu ile tanımlanan Min kowski metriğinin özelliklerini ele aldık. Ayrıca I. bölümde, bütün kapa lı, sınırlı, konveks, cümlelerin ailesi üzerinde H,,H2 6 Cj}.. olmak üzere ta nımlanan (K, x J âl birim küresini göstermektedir.) p (HpH2)= înf {e: e>Û,H1d H2+ e K,H2 cHj+ e K } metriği ile$2nın bir alt ailesi olan ve kapalı, sınırlı konveks cisimle rin Ç?^ ailesinde tanımlanan 6 (HpH2)= VfH^Hg) + VtHgNHj) metriği üzerinde aynı topolojiyi ürettiklerini gösterdik. Balanslı cümleleri ise II. bölümün I. kesiminde ele aldık.

ft ~.~J± SUMMARY ? Let H be a convex body in Euclidean n-dimensional space Rn having the origin o as an interior point. Then the distance function f:R^-*R öf H is de fined by / 2/ f(p)=infU: X>0,p~G XH} (p 6 Rn). The equidistant set of a, b (with respect to distance function) is defined by E(a,b)-{p : p 6 Rn,f (p-a)=f (p-b)} where a,b G Rn and a»lb./5/ In the second chapter of this thesis we have discussed that under which conditions, the equidistant set E(a,b) is a balanced set and we have produced a theorem concerning this set E(a,b) and obtained other properties of E(a,b). Actually, it is a well known fact that a set B satisfying the relation SBCB is a balanced set,where S is of the form S={ct: ct[<l,a6R }and that a balanced set is a o-symmetric set. Further, assuming'- the fact that `a convex set is a balanced set if and only if it is symmetric. `.firstly we have deter mined that under which conditions the origin point o is a interior point of E(a,b).Then we have obtained our result which will satisfy that E(a,b) is o- symmetric(and consequently balanced) according to the distancefunction f(p) defined above. With this aim incchapter I, we have considered the propeties of the Min kowski metric defined by the function f(p) and the distance function f(p) belong: to a convex body H and convex sets. Now letftbe the collection of all closed bounded convex sets and letCjbe the subcol lection consisting of the closed. bounded convex bodies. The unit sphere x[<l is denoted by K.If we put p(Hl5H2) = inf{e: e>0,H1CH2+eK,H2cH1+eK} 6(H1,H2)=V(HNH2)>V(H2V:H^ where H,H2 GÇ>and`H.+eK is the (convex) body consisting of the points x whose distance to H. does not exceed e (i=l,2),we will show that p is a met ric on Gf and S is a metric on the subcollection& and then will show that p,8 are equivalent metric on ta,.