Grafların Özdeğerlerini ve Normalize Laplacian Özdeğerlerini İçeren Parametreleri İçin Sınırlar

Abstract

Bu çalışma grafların, özdeğerlerini ve normalize Laplacian özdeğerlerini içeren parametrelerine sınırlar elde etmek için hazırlanmıştır. İlk olarak strongly quotient grafların enerjisi ve Estrada indeksi için bazı sınırlar elde edilmiştir. Ayrıca, bu sınırların strongly quotient graflar için bilinen bazı sınırlardan daha iyi olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, izole noktası olmayan bir grafın sıfır olmayan normalize Laplacian özdeğerlerinin kuvvetlerinin toplamı tanımlanmış ve bu parametreye bağlantılı (iki parçalı) graflar için bazı alt ve üst sınırlar elde edilmiştir. Elde edilen bu alt sınırların bir sonucu olarak bağlantılı (iki parçalı) grafların derece Kirchhoff indeksi için bazı alt sınırlar verilmiştir. Ayrıca derece Kirchhoff indeks için elde edilen bu alt sınırlardan birinin literatürdeki bilinen bir alt sınırla çakıştığı gözlemlenmiştir. Bununla birlikte izole noktası olmayan grafların ve bağlantılı (iki parçalı) grafların geren ağaçlarının sayıları için bazı üst sınırlar elde edilmiş ve izole noktası olmayan graflar için elde edilen üst sınırın bilinen üst sınırların birinden daima daha iyi olduğu sonucuna varılmıştır. Ek olarak grafların geren ağaçlarının sayıları için elde edilen üst sınırlar bir örnek üzerinde karşılaştırılmıştır. Bu çalışmada elde edilen sonuçlar üzerine gerekli değerlendirmeler ve öneriler son bölümde verilmiştir.

This study is prepared to obtain bounds for the parameters of graphs involving their eigenvalues and normalized Laplacian eigenvalues. At first, some bounds for the energy and Estrada index of strongly quotient graphs have been obtained. It has been also showed that these bounds are better than some known bounds for the strongly quotient graphs. Later, the sum of powers of non-zero normalized Laplacian eigenvalues of a graph without isolated vertices have been defined and some upper and lower bounds on this parameter for connected (bipartite) graphs have been established. As a result of these obtained lower bounds, some lower bounds for the degree Kirchhoff index of connected (bipartite) graphs have been given. It has been also observed that one of obtained lower bounds for degree Kirchhoff index coincides with a known lower bound in the literature. At the same time, some upper bounds for the number of spanning trees of graphs without isolated vertices and connected (bipartite) graphs have been obtained and it has been concluded that the upper bound obtained for graphs without isolated vertices is always better than one of known upper bounds. Additionally, upper bounds obtained for the number of spanning trees of graphs have been compared on an example. As a final section, there have been given essential evaluations and suggestions over the obtained results in this thesis.