Numerical and algebraic treatment of dynamical systems equation and soluable potentials

Abstract

ÖZET ÇÖZÜLEBİLEN POTANSİYELLER VE DİNAMİK DENKLEM SİSTEMLERİNİN SAYISAL VE CEBİRSEL ÇÖZÜMLERİ EserKÖRCÜK Yüksek Lisans Tezi, Fizik Müh. Bölümü Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Ramazan KOÇ Ocak, 2001, Bu tezde fizikteki dinamik denklem sistemleri cebirsel ve sayısal metodlar kullanılarak çözüldü. Son zamanlarda, Lie cebirsel tekniği kullanılarak kompleks ve tam çözüme haiz olmayan potensiyellerin gerçek sepekturumlara sahip olduğu gösterildi. Bu çalışmada bazı Schrödinger denklemlerinin çözümünü Lie cebiri ile bulunmaya çalışıldı ve Lie cebirinin yardımı ile özdeğer problemlerinin nasıl basite indirgendiği gösterildi. Bu çalışmada ilk olarak ikinci dereceden diferansiyel denklemleri çözmek için SO(2,l) cebirinin diferansiyel realizasyonu yapıldı. Schrödinger denkleminin farklı potensiyelleri için değişken ve benzerlik dönüşümleri uygulanarak jeneratörler yeniden elde edildi. Kompleks PT simetrik Hamilton tipi denklemlerin gerçek özdeğere sahip olduğu gösterildi. Fizikte iki ünlü denklem olan ısı ve Lorenz denklemleri sayısal Runge Kutta 4 metodu ve Mathematica poroğramı kullanılarak çözüldü. Son olarak kaotik bölgelerde çalışan dinamik sistemler ile elde edilen verilerin topologic olarak analizi yapıldı. Anahtar Kelimeler: Lie Cebiri, SO(2,l) Realizasyonu, PT Simetrik Hamiltonian ve Dinamik Sistemler

ABSTRACT NUMERICAL AND ALGEBRAIC TREATMENT OF DYNAMICAL SYSTEMS EQUATION AND SOLVABLE POTENTIALS EserKÖRCÜK M.Sc, Engineering Physics Department Supervisor: Assists. Prof. Dr. Ramazan KOÇ January, 2001, In this thesis, the solution of the dynamic system equations of physics have been studied by using algebraic and numerical methods. In recent times Lie algebraic techniques have been used to construct complex quasi exactly solvable potentials with real spectrum. In our study, we find the solution of the several different Schrödinger equations using the method of Lie algebra and show how the use of Lie algebra helps in simplifying the eigenvalue problem. In the present study, we begin with a specific differential realization of the SU(l,l)«SO(2,l) algebra which can be used to derive the second order differential equation. Then apply variable and similarity transformations to the group generators in order to recover the Schrödinger equations for various potentials. We also demonstrated that non-Hermition PT symmetric Hamiltonians have real eigenvalues. In addition, the two well-known non linear equations, the Heat and Lorenz equations are solved by numerical Runge Kutta 4 method and via Mathematica in physics. The effects of parameters and the initial conditions are examined. Finally, we review the topological analysis of data generated by a dynamical system operating a chaotic regime. UlKey Words: Lie Algebra, Realization of SO(2,l), PT Symmetric Hamiltonians and Dynamical System. IV