Kuasi-kuadratik fonksiyonellerin bir-buçuk lineer fonksiyonellerle gösterimi üzerine (Halperin problemi)

Abstract

iÖZKUASİ-KUADRATİK FONKSİYONELLERİN BİR-BUÇUKLİNEER FONKSİYONELLERLE GÖSTERİMİ ÜZERİNE(HALPERİN PROBLEMİ)Emirhan, BelginYüksek Lisans Tezi, Matematik BölümüTez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Mehmet AçıkgözMart 2005, 82 sayfaHer bir bir-buçuk lineer fonksiyoneli Q ( x ) = S ( x, x) ile bir kuadratik fonksiyoneliverir. Kuasi-kuadratik fonksiyoneller gerçekte ne zaman kuadratik fonksiyonellerdir?Bir başka deyişle, bir Q kuasi-kuadratik fonksiyonel verildiğinde, Q ( x ) = S ( x, x)olacak şekilde bir-buçuk lineer fonksiyonel var mıdır?Bu çalışmada, kuasi-kuadratik fonksiyonellerin bir-buçuk lineer fonksiyonellerlegösterimi (Halperin problemi), halka modülleri, reel( ¡ ), karmaşık( £ ) vekuaternionik( H ) vektör uzayları ve *-cebirleri üzerinden ele alınmıştır. Bugösterimde Jordan *-türevlerinin nasıl bir ölçü olduğu gösterilmiştir. Kuadratikfonksiyonel kullanarak, bir iç çarpımın varlığı, Cauchy fonksiyonel denklemi ileilgili bazı problemlerle yakından ilişkilidir. Ek olarak, ön-Hilbert (iç çarpım) uzayınıkarakterize eden Jordan-Vonn Neumann teoreminin bir genişlemesi elde edilmiş vegaz dinamiğinde bir uygulaması verilmiştir.Anahtar Kelimeler: Jordan *-türevler, kuasi-kuadratik fonksiyonel, bir-buçuk lineerfonksiyonel, iç Jordan *-türev, *-cebirleri, Cauchy fonksiyonel denklem, ön-Hilbertuzayı.

iiABSTRACTON THE REPRESENTATION OF QUASI-QUADRATICFUNCTIONALS BY SESQUILINEAR ONES(HALPERIN PROBLEM)Emirhan, BelginM.Sc.in Department of MathematicsSupervisor: Asst. Prof. Dr. Mehmet AçıkgözMarch 2005, 82 pagesEach sesquilinear functional gives rise to a quadratic functional withQ ( x ) = S ( x, x) . When quasi-quadratic functionals are in fact quadratic functionals.In other words, given a quasi-quadratic functional Q does there exist a sesquilinearfunctional S such that Q ( x ) = S ( x, x) ?In this study, the representation of quasi-quadratic functionals by sesquilinearones (Halperin problem) over ring modules, real( ¡ ), complex( £ ), quaternionic( H )vector spaces and *-algebras is given. It is shown that how Jordan *-derivations ariseas a measure in this representation. Existence of an inner product by using quadraticfunctional is closely related to the some problems about Cauchy functional equation.Moreover, an extension of Jordan-Vonn Neumann teorem that characterizes pre-Hilbert (inner product) space is obtained and the application to a gas dynamics isgiven.Key Words: Jordan *-derivations, quasi-quadratic functional, sesquilinearfunctional, inner Jordan *-derivation, *-algebras, Cauchy functional equation, pre-Hilbert space.