Bazı yüksek salınımlı integraller için uygun Gauss ve Filon tipi integrasyon metotları

Abstract

$f(x), /; [0,1]$-aralığı üzerinde yeterince düzgün bir fonksiyon, $g(x)=1/{x^r} $, $ r$ ve $/omega$ pozitif sayılar olmak üzere(A)$ /int_0^1{f(x) sin{(/omega g(x))}dx}$ veya $/int_0^1{f(x) cos{(/omega g(x))}dx}$formundaki integrallerin Newton-Cotes, Gauss-Legendre, Clenshaw-Curtis gibi geleneksel nümerik integrasyon metotları ile, kabul edilebilir sayıda nokta kullanılarak, yeterli duyarlılıkta hesaplanması mümkün değildir.Bu çalışmada, yüksek salınımlı integralleri hesaplamak için kullanılan Filon, Levin ve asimptotik açılıma dayalı metotlar incelenmiş ve daha önceki çalışmalarda oluşturulan ve (A) formundaki integralleri yüksek duyarlılıkla hesaplayabilen Gauss tipi metotlar $g$ fonksiyonunun $g(x)=/frac{1}{(x-x_1)^{r1}(x-x_2)^{r2}}$ şeklinde olduğu durum için genelleştirilmiştir. Ayrıca (A) tipindeki integrallerde $x=1/t$ değişken değişimi yapılarak elde edilen integralleri hesaplamak için uygun Filon tipi metotlar geliştirilmiştir.Anahtar Kelimeler: Gauss integrasyon metodu, Yüksek salınımlı integraller, Filon-tipi metotlar, Levin-tipi metotlar, Asimptotik metotlar.

By the traditional quadrature rules/methods such as Newton-Cotes, Gauss-Legendre, or Clenshaw-Curtis, with the use of an acceptable number of quadrature nodes, it is not possible to obtain accurate approximations to integrals of the form(A)$ /int_0^1{f(x) sin{(/omega g(x))}dx}$ or $/int_0^1{f(x) cos{(/omega g(x))}dx}$in general, where $/omega$ and $r$ are given positive numbers, $g(x)=1/{x^r}$ and $f$ is a sufficiently smooth function on the interval $[0,1]$.In this work, the efficient quadrature methods (Filon, Levin, Asymptotic ) to compute highly oscillatory integrals are investigated and the Gauss quadrature rules developed at previous studies, which give very accurate results for (A), are generalized to compute the integrals (A) with $g(x)=/frac{1}{(x-x_1)^{r1}(x-x_2)^{r2}}$ accurately. In addition, appropriate Filon-type methods are presented for the computation of integrals obtained by the change of variable $x=1/t$ in (A).Key words: Gauss quadrature methods, Highly oscillatory integrals, Filon-type methods, Levin-type methods, Asymptotic methods.