Hamiltonians for spin quantum hall effect and their solutions

Abstract

Bu tezin temel amacı kuantum Hall Etkisinin arkasındaki fiziği ve kuantum Hall Etkisi Hamiltoniyenlerinin çözümünü araştırmaktır. Tam ve kesirli kuantum Hall etkileri yarı iletkenlerde gözlenmekte olup manyetik alan içerisinde elektronun kinetik enerjisinin kuantumlanması, yani Landau kuantumlanmasıyla açıklanmıştır. Bu çalışmada kuantum spin Hall etkisini açıklayan ve spin-orbit çiftlerini içeren çeşitli Hamiltoniyenlerin çözümleri çalışılmıştır.Bu tezde, Hamiltoniyenlerin çözümü için analitik bir yaklaşım tasarlanmış ve öz fonksiyonlar ile öz değerler analitik olarak elde edilmiştir. İki seviyeli fiziksel yapıları incelemek için, Pauli matrisleri ve merdiven operatörleriyle ifade edilen, spin orbit çiftlerini içeren genel bir Hamiltoniyen önerilmiştir. Bu Hamiltoniyen çeşitli parametreler içermekte olup, bazı özel durumlar için çözülmüştür. Sonuçların, kuantum Hall Etkisini açıklamak için uygun olduğu görülmüştür.Son olarak, spin kuantum Hall Etkisi detaylı olarak çalışılmıştır. Mathematica programı kullanarak bu etki ile ilişkili bazı Hamiltoniyenlerin çözümü yapılmıştır. En son olarak sonuçlar özetlenmiştir.Anahtar Kelimeler: Kuantum optik, Spin-Orbit çiftleri, Spin Hall etkisi

The main objective of this is to investigate physics behind the quantum Hall effect and solution of quantum Hall Effect Hamiltonians. Quantum integer and fractional Hall Effect appears in semiconductors and it is explained by kinetic energy quantization of electrons in a magnetic field or Landau quantization. In this work various Hamiltonians describing quantum Hall effect and including spin orbit coupling are also studied. We present solution of two level Hamiltonians.In this thesis we propose an analytical approach to solve the Hamiltonians and we exhibit their eigenvalues and eigenfunctions in the analytical form. In order to investigate two level physical systems we introduced a general Hamiltonian in terms of Pauli matrices and ladder operators, including almost all spin-orbit coupling terms. The Hamiltonian consists of various parameters and under some specific conditions we obtained solution of the Hamiltonians. We show that the results are suitable to describe quantum Hall effect.Finally, spin quantum Hall Effect is studied in detail. Using Mathematica program we solved various Hamiltonians concerned with quantum Hall Effect. At the end the results are concluded.Key words: Quantum optics, Spin-Orbit Coupling, Spin Hall Effect, Hamiltonians