Application of group theory to quantum information and quantum computation

Abstract

Grup teori metodu kuvantum enformasyon ve kuvantum hesaplama işlemlerine basit ve şık açıklamalasıyla yön vermektedir. Örneğin tersine çevrilebilir kuvantum mantık kapıları grup teori kullanılarak analiz edilebilir. Kuvantum entanglemenın (karışıklığının) grup teoriyle formule edilebileceği bilinmektedir. Kuvantum hesaplama için bazı logaritmik mes?elelerde kullanılabilen algoritmalar saklı alt gruplar temelinde tertip edilebilirler,kuvantum foriyer dönüşüm saklı alt gruplarda ve sonlu gruplarla yakın ilşki içindedir. Ayrıca SU(2) simmetri ile kuvantum ışın ayracı, n-qudit sistemleri ve kuvantum kodları arasında ilginç bağ vardır. Kuvantum entanglementın (karışıklığının) parmak izlerine A_4,B_4,D_4,H_4,F_4,A_8,B_8,D_8in yanında E_6,E_7,E_8 gibi istisnai gruplarda ki kliford ve Coxeter gruplarıyla yakın ilşki içinde olan bunlar kuvantum kapıları tarafından meydana getirilmişlerdir. Kuvantum kapıları oluşurken Coxeter gruplar ile qubit simetrilerinin bağlantısını tespitte bulunmak ehemmiyetlidir. (örneğin aynı, tekdüze, dönüşüm). Burada kuvantum enformasyon ve kuvantum hesaplamanın grup teorinin akıllı kullanılmasında yattığını ifade etmek isteriz. Ayrıca kuvantum enformasyon ve kuvantum hesaplama genç bilim alanları olduğunuda işaret ediyoruz. Fakat etkileyici güzelliğinden cazibesinden dolayı hızla hareket etmekte ve gelişmektedirler. Netice olarak bütün teoretik grup analizleri kuvantum enformasyon ve kuvantum hesaplama terindeki problemleri çözmek için değerlidir.

The method of group theory leads to the very simple and elegant description of the synthesis of quantum information and quantum computation processes. For example reversible quantum logic gates can be analyzed by using group theory. It is known that quantum entanglement can be also formulated by using group theory. The algorithms for quantum computations can be constructed in the framework of hidden subgroup. The Quantum Fourier Transform which can be used to solve some logarithm problems also closely related to the hidden subgroup and finite groups. There is also an interesting link between SU(2) symmetry and quantum beam splitter transformation, as well as n-qudit systems and quantum codes. We also found some fingerprints of quantum entanglements- in exceptional groups such as E6, E7 and E8- generating by Quantum Gates and that concisely related with Clifford Groups, Coxeter Groups. During realization of Quantum Gates it is very important establishing connection between Coxeter Groups and qubit symmetries ( e.g. unitary transformation). We would like to mention here that formalism of quantum information and quantum computation lies in the clever use of group theory. We also point out that quantum information and quantum computation theory are young sciences but they are very fast moving and very popular because of their fascinating beauty. Consequently, all this group theoretical analysis would be worth to solve the complicated problems in quantum information and computation theory.