İntegral denklemlerin uyarlanabilir inceltme kullanılarak nümerik çözüm ve uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada ikinci tip Fredholm integral denklemlerinin yaklaşık çözümlerini elde etmek için Galerkin yöntemine ve bu yöntem ile elde edilen yaklaşık çözüme uygulanan Sloan iterasyon yöntemine uyarlanabilir inceltme uygulanmıştır. Yaklaşımlar için baz fonksiyonları olarak şapka fonksiyonları olarak adlandırılan doğrusal fonksiyonlar ile dereceleri en az 2'ye eşit olan integre edilmiş Legendre polinomları kullanılmıştır. 3.1. bölümde bir kaba ağdan bir ince ağ elde etmek için izlenecek yol verilmiştir. Bölüm 3.2 ve 3.3'te oluşan bu yeni ince ağ üzerinde Galerkin yöntemi ile yaklaşık çözüm elde edilmiş ve bu yaklaşık çözüme Sloan iterasyonu uygulanmıştır. Bölüm 3.4 ve 3.5'te kaba ağ ile ince ağ arasında oluşabilecek dört farklı ağ üzerine yaklaşık çözümlerin L^2-izdüşümleri hesaplanmış ve bu izdüşümlerin kullanıldığı (3.4.1) ile verilen optimizasyon problemi ile en uygun inceltme seçimi yapılmıştır. Elde edilen hata değerlerine bağlı olarak bu işlemler tekrarlanabilir veya ard arda yapılan inceltmeler sonucunda elde edilen ağlara ve hatalara bağlı olarak oluşturulan farklı ağlar üzerinde yaklaşık çözümler incelenebilir.

In this study adaptive refinement is applied to Galerkin method and to the Sloan iteration applied to approximate solution obtained from this method in order to obtain approximate solutions of Fredholm integral equations of the second kind. The linear functions which are called hat functions and integrated Legendre polynomials are used as base functions for the approximations. In section 3.1 the way which should be followed to obtain a fine mesh from a coarse mesh is given. In section 3.2 and 3.3 approximate solutions are obtained by Galerkin method on this fine mesh and Sloan iteration is applied to this approximate solution. In sections 3.4 and 3.5 L^2 projections of approximate solutions on four different meshes which could be formed between coarse mesh and fine mesh are calculated and the most appropriate refinement is chosen by the optimization problem (3.4.1) in which these projections are used. Related to obtained error values these procedure could be repeated or approximate solutions could be examined on different meshes which are formed related to meshes and errors obtained from refinements one after another.