Bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemleri

Abstract

Bu çalışmadaki amaç bazı lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin en basit çözüm yöntemlerini sunmaktır. Bu durumdan hareketle öncelikle en basit çözüm yöntemi olan hareket eden dalga ve kendine benzer çözümler üzerinde durulmuş, Cole-Hopf dönüşümü ile birlikte Burger denklemi ele alınmıştır. Matematiksel biyolojide oldukça önemli bir yere sahip olan Porous Medium denkleminin çözümü elde edilmiştir. Daha sonra birçok kısmi diferansiyel denklemin çözümünde kolaylık sağlayan Anti-Reduction yöntemi açıklanmış, daha önce Adomian ayrıştırma yöntemi ile çözülmüş olan denklemler üzerinde bu yöntem denenmiştir ve elde edilen sonuçların birebir örtüştüğü gözlemlenmiştir. Bu elde edilen sonuçlar grafiklerle desteklenmiş ve çözümün davranışı yorumlanmıştır. Son olarak diğer çözüm yöntemlerinden olan Nokta dönüşümü ve Hodograph dönüşümüele alınmış, bazı kısmi diferansiyel denklemler için uygulanmıştır. Hangi yöntemin hangi denklem tiplerine uygulanabilir olduğu ise sonuçlar kısmında tartışılmıştır.

The purpose of this study is to present the easiest solution methods of some nonlinear partial differential equations. According to this situation, first of all, the most primitive solution methods travelling wave and self similar solutions has been studied, and also Burger equation together with Cole-Hopf transformation has been taken into consideration. The solution of Porous Medium Equation, which has a very important place in Mathematical Biology was obtained. Then, Anti-Reduction Method, which provides easiness in the solution of most of the partial differential equations, was explained, and this method was applied on the equations which were solved via Adomian Decomposition Method, and it was observed that the results obtained were completely compatible. These results were supported with the graphics and the behaviour of the solutionswere interpreted. Lastly, the other solution methods, namely Point transformation and Hodograph transformation were studied and applied on some partial differential equations. It has been discussed in the results section that which method is applicable on which equation.