Kübik spline fonksiyonlar yardımıyla bazı kısmi türevli diferensiyel denklemlerin sayısal çözümleri

Abstract

Bu yüksek lisans tezi altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, sonlu farklar metodu ve kolokeyşin metodu hakkında kısa bilgi verildi. Spline fonksiyonların özellikleri ve tanımı verilerek, kübik spline ve kübik B-spline interpolasyonu oluşturuldu. Lineer olmayan Burger denklemi ve RLW denklemi test problemleri ile beraber tanıtılarak, daha önceki bazı sayısal çözümlerden bahsedildi. İkinci bölümde, J. Caldwell tarafından önerilen `Lineer Olmayan Burger Denkleminin Kübik Spline Fonksiyonlar ile Sayısal Çözümü` adlı makalesi ayrıntılı olarak incelendi. Bu makaledeki lineerleştirme tekniği daha sonraki bölümlerde kullanıldı. Üçüncü bölümde, RLW denkleminin sayısal çözümü için kübik spline kolokeyşin çözümü verildi. Metot için kesme hatası bulundu. Tek dalga çözümü, ardışık dalgaların üretilmesi ve yayılması çalışıldı. Dördüncü bölümde, kübik B-spline kolokeyşin metodu ile lineer olmayan Burger denkleminin sayısal çözümü yapıldı. Burger denklemi için farklı sınır ve başlangıç koşulları kullanılarak metot test edildi. Beşinci bölümde RLW denkleminin kolokeşin metodu ile çözümü, metotta yaklaşım fonksiyonları olarak kübik B-spline fonksiyonlar kullanılarak ifade edildi. Üçüncü dördüncü ve beşinci bölümlerdeki metotların kararlılığı Fourier kararlılık yöntemi ile incelendi. Son bölümde ise, lineer olmayan Burger denklemi ve RLW denklemi için bulunan sayısal sonuçlar arasında kıyaslamalarla çözümlerin tartışması yapıl mıştır.

vu SUMMARY This master thesis consists of six chapters. A short introduction about the finite difference and collocation methods are given in the first chapter. Definition and properties of spline functions are outlined. Derivation of the cubic spline and cubic B-spline interpola tion is shown. RLW and Burger equations, which are dealt with finding the numerical solution, are introduced together with some initial and boundary conditions. Some of the previous numerical methods about those equations are mentioned. In the second chapter, the paper of J. Caldwell's titled `Application of Cubic Splines to the Nonlinear Burgers' Equation` is examined in detail. The linearization technique given in the J. Caldwell's paper is used in the next chapters. The cubic spline collocation solution of the RLW equation is set up in the third chapter. Local truncation error of the method is derived. Migration of solitary wave and undular bore development are studied for the RLW equation. In the following chapter, Burger equation is solved by using cubic B-spline collocation method. The method is tested for various initial and boundary conditions of Burger equation. In the fifth chapter, the collocation method incorporated with the cubic B-spline function is used to get the solution of the RLW equation. Von Neuman stability analyses of algorithms are investigated. In the last chapter the comparison and discussion are done for the pro posed methods with some of the previous studies.