E^3 ve E^4 öklid uzayında eğrilerin ve E^3 öklid uzayında yüzeylerin kuaterniyonlar yardımıyla incelenmesi

Abstract

Bu tezin amacı E^3 ve E^4 Öklid Uzayındaki eğriler içiin Serret-Frenet türev formüllerini ve bunların yüzeyler için benzeri olan Gauss-Weingarten denklemlerini cebirsel olarak kuaterniyonlar yardımıylayeniden ifade etmektir. Tezin ilk bölümünde karmaşık sayılar ve kuaterniyonlara ait temel kavramlar verildikten sonra ikinci bölümde, karmaşik duzlemde birim hızlı ve birim hızlı olmayan eğriler için Serret-Frenet t/`{u}rev form/`{u}lleri yeniden ifade edilmiştir. Aynı formüller E^3 ve E^4 Öklid Uzayındaki eğriler içiin kuaterniyonlar yard/i m/i yla yeniden incelenmiştir. Son bölümde E^3 de bir yüzeyin birinci, ikinci temel formları ve Gauss-Weingarten denklemleri kuaterniyon çarpımı kullanılarak ifade edilmiştir.

The aim of this thesis is to re-formulate the well known Serret-Frenet equations for curves in three and four dimensional Euclidean spaces and Gauss-Weingarten equations for the surfaces in three space, which are analogous to Serret-Frenet equations, in an algebraic sense via quaternions. Basic concepts of the theory of complex numbers and quaternions are given in the first section.In the second section the well known Serret-Frenet equations for both unit and arbitrary speed curves in the complex plane are obtained. Corresponding equations for curves in E^3 and E^4are investigated by using quaternion algebra. In the final section, the first and second fundamental forms of a surface in E^3 and Gauss-Weingarten equations, are represented by quaternion multiplication.