Pseudo-kompakt uzayların bazı karakterizasyonları ve özellikleri

Abstract

49 ÖZET Sunduğumuz bu tezin birinci bölümünde daha sonraki bölümlerde yararlanılacak olan bilgilerin özeti verilmiştir. İkinci bölümde, kompakt uzayların bazı özelliklerinin değişik ve detaylı ispatları ile topolojiye analiz deki Bolzano-Weierstrass ile giren teorem verilmiştir. Kompakt bir uzayın lokal sonlu her açık örtüsünün sonlu olduğu ve sürekli fonksiyonların kompaktlığı koruduğu belirtildikten sonra, sayılabilir, dizisel, yerel kompakt ve parakompakt uzayların özellikleri araştırılmıştır. Özellikle yerel kompakt ve parakompakt uzaylar ile düzen li uzaylar arasındaki ilişkileri içeren teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, hafif kompakt uzayların (lightly Compact Spaces) değişik bir karakterizasyonunu vermeye yardımcı olan regüler kapalı ve açık kümeler tanımlanıp, lokal sonlu kümeler sınıflarının bazı özelliklerini vurgulayan iki teorem verilmiştir. Ayrıca bir topolojik uzayın her noktası sadece sonlu sayıda açık kümeler tarafından içeriliyor ise, o uzayın hafif kompakt olduğu gösterilmiştir.. Bu bölümün sonunda hafif kompakt uzaylar, önce regüler kapalı küme tanımı kullanılarak ve daha sonra süzgeç tabanlarının değme noktası kavramı kullanılarak karakterize edilmiştir. Bu karakterizasyonlar dikkate alınarak, birinci sayılabilir Hausdorff uzayının hafif kompakt her alt kümesinin kapalı olduğu ve bir topolojik uzayın yoğun bir alt kümesi hafif kompakt ise, topolojik uzayın kendisininde hafif kompakt olduğunu belirten teoremler verilmiştir. Ve nihayet hafif kompakt uzaylar da Lindelöf özelliği ile Michael özelliğinin denkliği ispatlanmıştır.- 50 Son bölüm olan dördüncü bölümde, önce tamamen düzenli pseudo-kompakt uzayları karakterize eden teorem verilip, T4- uzaylarında pseudo-kompakt, hafif kompakt ve sayılabilir kompakt uzayların denkliği ispatlanmıştır. Kompakt uzayları karakterize eden iki teorem verildikten sonra, tamamen düzenli veya To- uzayın kompakt olması için gerek ve yeter koşulun, uzayın Michael özelliğine sahip pseudo-kompakt uzay olduğu ispatlanmıştır. En son olarak bir T, - uzayının kompaktlığını karakterize eden ilginç bir teorem verilmiştir.

- 51 SUMMARY In the first chapter of this thesis, some background, which will be usefull for the next chapters, is summarized. In the second chapter, the detailed and distinct proofs of some properties of compact spaces and the theorem are given, which enters into the topology via Bolzano- Weierstrass theorem. After giving that every local finite open cover of a compact space is finite and continious functions preserve the compactness we study the proper ties of countable, sequential, local compact and paracom- pact spaces. In particular, theorems, containing the relations between local compact space, paracompact spaces and regular spaces, are given. In the third chapter, we define regular closed and open sets, which are useful for the different characteri zation of lightly compact spaces, and we give two theorems emphasising of some properties of local finite set classes. Also, if every point of a topological space is contained in a finite number of open sets, then we show that this space is a lightly compact. At the end of this chapter we characterize the lightly compact spaces firstly by using the regular closed set concept and then using the cluster point of filter bases. By using these characterizations we showed that every lightly compact subset of first countable Hausdorff space is closed and the theorems are given about, if a dense subset of a topological space is a lightly compact then topological space itself is also a lightly compact space. Finally, the equivalency of Lindelöf property and Michael property is lightly compact space is proved.52 In the final chapter, firstly the theorem, that is, characterizing completely regular compact space, is given in T4-spaee the equivalancy of pseudo-compact lightly compact and countable compact spaces is shown. After giving two theorems, those are characterizing compact spaces, the following, statement is proved, comletely regular or T, - space is compact if and only if this space should be pseudo-compact space having michael property. At last, an interesting theorem, that is characterizing compactness of T,- space, is given. T. 0. Yükseköğretim Kwsfe Dokümantasyon Mar&§g