Hilbert uzaylarında lineer operatörler spektral ölçüm ve spektral integrasyon

Abstract

11 ÖZET Çalışmamızın ilk bölümünde, bundan sonraki bölümler için gerekli olan ön bilgiler kısaca özetlenmiş ve sonsuz boyutlu ayrılabilir H Hubert uzayının 1 2 ye izomorf ol duğu ispat edilmiştir. Bu bölümde ayrıca, Riesz-Frechet teoremi yardımıyla, her xeH için H daki tüm £(x) fonksi yonellerinin ü{x) =<x,a> (aeH) şeklinde tek türde yazı labileceğinin ispatı da verilmiştir. İkinci bölümde, Hilbert uzaylarında sol bilineer fonksiyoneller, lineer operatörler, ek, ters, hermitien ve normal operatörlerin tanımlarıyla önemli özellikleri incelenmiştir. Kapalı grafik teoreminin sonucu olarak, bir T lineer fonksiyonelinin kapalı olması durumunda sü rekli olacağının ispatının da verildiği bu bölümün sonun da, projektörler üzerine teoremlerle, operatör kümelerin de sınırlılık ve operatör dizilerinde yakınsaklık türleri yer almıştır. üçüncü bölümde, bir Hilbert uzayında projektör ölçüm ve bu ölçüme göre tanımlanan integrasyon üzerinde çalı şılmıştır. Bir P projektör ölçümüne göre tanımlanan integ- ralin varlığının ispatının ardından, integralin ve integ- rallenebilir fonksiyonların özellikleriyle bunlardan ba zılarının ispatları verilmiştir. Spektral teoriye ayrılan son bölümde ise, bir pro jektörün ^spektrumu ile rezolvant küme tanımları verilerek, hermitien ve normal operatörler üzerine spektral teoremler ispat edilmiştir.

78 - SUMMARY In the first chapter of the thesis all preliminaries which will be used in the next chapters are given. It's also proved that every infinite separable Hubert space is isomorphic to i« and a11 functionals in a H Hubert space can be writien by Riesz-Frâchet theorem uniquetly in the form je(x) = <x,a> (aeH). In the second chapter, linear operators, left bilinear functionals, adjoint, inverse, hermitian and normal operators are defined and some properties of them are studied. It is shown by closed graph theorem that if Tis aclosed linear operator then T is continuous. We also emphasize on projectors and some important theorems and properties of them are proved. We give finally some definitions on the boundedness and convergence. In the third chapter, we study projector measure and its properties and also integration relative to projector measure. We give the properties of the integral and integrable functions and the proofs of some theorems. In the last chapter we ^e+tedef initions of spectrum and resolvant set and the proofs of the spectral theorem for hermitian and normal operators.