İndirgenmiş değişmeli halkalar üzerine

Abstract

59 - ÖZET Sunduğumuz bu tezin giriş bölümünde tez konusu belirtildi ve daha sonraki bölümlerde yararlanılacak tanımlar, teoremler verilip tezde geçen gösterimler toplu halde sunuldu. Birinci bölümde, önce değişmeli indirgenmiş bir R halkasının tamlık bölgelerin altdirekt toplamına, cisimlerin direkt toplamının bir althaikasına izomorf olduğu ve regüler halka içine gömülebileceği verildi. R'nin bir S alt kümesinin `hull` ı, sıfırlayanı ve M(R)'nin bir altkümesinin çekirdeği arasındaki ilişkiler incelenip R'nin elemanlarının sıfırlayanları ile `hull` lan arasındaki denklikler, eşitlikler ispat edildi. Daha sonra değişmeli bir halka verildiğinde bundan değişmeli indirgenmiş halka elde etmeye yarayan bir yöntem verilip değişmeli indirgenmiş bir halkada denk ifadeler ele alındı. Son olarakta indirgenmiş bir halkanın değişmeli yada değişmeli bir halkanın indirgenmiş olması için bir takım şartlar incelendi. İkinci bölümde, ilk olarak indirgenmiş bir R hal kasının simetrik, hemen hemen simetrik ve `pseudo` si metrik olduğunu gösteren özellikler ispat edilip R'nin sağladığı özellikler ele alındı. Daha sonra R'nin birimli olması halinde R'nin regüler olması için R'nin her esas sol idealin R'nin bir elemanının sol sıfırlayanı olmasına denk olduğu yine birimli bir halkasının indirgen-- 60 miş ve regüler olması için gerekli ve yeterli şartın her üniter basit R-modülün p-injektif ve her sol idealin iki yanlı ideal olduğu ispatlandı. üçüncü bölümde, aldığımız kaynakta ispatsız olan ama ikinci bölümde kullandığımız Özellikleri ispat ettikten sonra [ 20, Theorem 2.4 ] ün değişik bir ispatını ve [ 3, p.2, Theorem ] de yer alan teoremi Kezlan'nın (0.6) da ifade edilen özelliğini kullanak çok kısa bir ispatı verildi. Daha sonra [> 29, Proposition 1] de re- gülerîik şartı yerine kuvvetli regülerlik koyarak daha önceden bilinen bu halin ispatı elemanter bir şekilde tarafımızdan yapıldı. Son olarak, değişmeli, birimli indirgenmiş bir R halkasında 0 'nin `primary` ideal olmasının 0 'nin tam olarak asal ideal olmasına denk olduğu ispat edildikten sonra R içinde bir takım denk şartlar verildi ve indirgenmiş bir halka içinde sp (R)cm(R) şartının regülerliğe denk olduğu ispatlandı.

61 - SUMMARY In the Introduction part of this paper, the subject matter of the thesis has been described; and in the lat ter parts, the definitions, the theorems and the nota tions to be used throughout the paper have been presen ted as a whole. In Part 1, first of all, that a commutative redu ced ring R is isomorphic to the subdirect sum of the integral domains and to the subring of the direct sum of the fields and can be embedded into a regular ring has been introduced. The relationship among the set S of R, its kernel and its annihilator has been studied, and the equivalences, the equalities between the annihilators of the elements of R and its hulls have been proved. Later on, a method used for obtaining a commutative reduced ring when a commutative ring is given, and equivalent statements in a commutative reduced ring have been handled, and finally a number of conditions essential for a reduced ring to be a commutative one or for a com mutative ring to be a reduced ring have been studied. In part 2, first of all, the properties indicating that a reduced ring R is symmetric or almost symmetric or pseudc symmetric have been proved, and the properties satisfied by R have been dealt with. After that, it has been proved that every left principal ideal is equivalent to the case in which an element of R is its left annihilator if R is with unit and for R to be regular, and it has also been proved that a ring with unit can be reduced and regular if and only if every unitary simple R-module is P-injective and every left ideal is a two-sided ideal.62 In Part 3, after proving the properties which are used in Part 2, but which are without proof in the resource, a very short proof has been presented by using a different proof of [20, Theorem 2.43, a theorem in [3, p. 2 ] and Kezlan's property expressed in (0.6). Later on, in [29 Proposition 1 1, by replacing regularity condition with strong reqularity condition, an elementary proof of this case which was known before has been made by us. Finally, after proving that the case in which 0 is the primary ideal is equivalent to the case in which 0 is a completely prime ideal in a commutative reduced ring R with unit, some equivalent conditions R have been introduced, and it has been proved that with frv a reduced ring, the condition sp(R)om(R) is equivalent to regularity.