Integrability and poisson structures of three dimensional dynamical systems and equations of hydrodynamic type

Abstract

Özet hidrodinamik tur denklemlerin ve uç boyutlu dinamik sistemlerin poısson yapıları ve çözülebilirliği Hasan Gümral Matematik Doktora Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Yavuz Nutku Kasım 1992 Üç boyutlu dinamik sistemlerin Poisson yapılarının çözülebilir 1-formlarla tanımlanabileceği gösterildi. Bundan yararlanılarak tam ve kısmi çözülebilirliğin geometrik tartışmasında yapraklama teorisi kullanıldı. Fizik ve biyolojiden değişik sistemlerin Poisson yapılarının bulunmasıyla ilgili yöntemler geliştirildi. Atiyah ve Hitchin'in iki tek-kutup probleminde çalıştıkları Halphen sisteminin SL(2, R) değerli düz bağlantı formlarıyla formüle edilebileceği ve bu yapının sıfırdan farklı Godbillon-Vey değişmezi olduğu gösterildi. Öte yandan, Halphen sisteminin limit durumları olan Euler topacı ve Lotka-Volterra denklemlerinde bu yapı tam çözülebilir iki-Hamiltonlu yapıya dönüşmektedir. Tam çözülebilir iki-Hamiltonlu yapı ve 5/2 yapısı üç boyutta çözülebilen 1-formun 3+1 boyutta birinci ve ikinci dereceden açılımları olarak elde edilebilir. Dinamik vektör alanıyla aynı teğet düzleminde bulunan bir vektör alanının varlığının Poisson yapılarının araştırılmasında önemli bir araç olduğu ve Poisson 1-formuna rasgele sabitler takabilmenin yöntemleri gösterildi. Bu durum Lie cebirlerinde olduğu gibi Poisson yapılarının da deformasyonuna neden olmaktadır. Salgın hastalıklarınyayılımıyla ilgili Kermack-McKendrick modelinin ve keyfi bir fonksiyon içeren genelleştirilmesinin, Lorenz modelinin çözülebilir durumlarının, Lotka-Volterra, May-Leonard ve Maxwell-Bloch sistemlerinin tam çözülebilir iki-Hamiltonlu yapıları oldukları gösterildi. ikinci kısımda ilk olarak sonlu genlikli düzlem ses dalgalarının Euler denklemi ile bir başka yarı-doğrusal ikinci dereceden dalga denkleminin Hamilton operatörleri bulunarak, iki-bileşenli hidrodinamik türden denklemlerin Hamilton yapıları tamamlandı. Gaz dinamiği denklemlerinin iki tane olan sonsuz korunan büyüklükler ailesi, sığ su dalgalarında bire inmektedir. Bu denklemler için yeni sonsuz korunum yasaları bulundu. Hidrodinamik türden çok bileşenli denklemler olan Kodama'nın sığ su dalgalarını genelleştiren denklemlerinin iki-Hamiltonlu tam çözülebilir sistemler olduğu gösterildi. N-bileşenli Kodama denklemlerinin ikinci Hamilton operatörlerinin bulunmasıyla ilgili bir yöntem geliştirildi. Burada boyut analizi ile Hamilton operatörleri ve korunan büyüklükler için rasyonel polinomlarda Ansatzlar yazılabilmektedir. Polinomların katsayıları ise Jacobi özdeşliğinden bulunmaktadır. Sonuçta elde edilen iki Hamiltonlu yapılar Caval- cante ve McKean'in sığ su dalgaları için buldukları yapının genelleştirilmesidir. Boussinesq denkleminin özel bir durumundan ve Benney denkleminden elde edilen üç bileşenli hidrodinamik türden denklemlerin bir dönüşümle aynı oldukları gösterildi. Denklemler boyut analizi yönteminin uygulanabileceği korunum yasaları halinde yazıldı. Ancak, bu sistem için ikinci Hamilton yapısının Hamilton fonksiyonunun seçimi açık olmadığından tekrarlama bağıntısının da irdelenmesine gerek duyuldu. Böylece kurulan iki-Hamiltonlu yapının üç tane sonsuz korunan büyüklükler ailesi ürettiği gösterildi.

Abstract INTEGRABILITY AND POISSON STRUCTURES OF THREE DIMENSIONAL DYNAMICAL SYSTEMS AND EQUATIONS OF HYDRODYNAMIC TYPE Hasan Giimral Ph. D. in Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yavuz Nutku September 1992 We show that the Poisson structure of completely integrable 3 dimensional dynamical systems can be defined in terms of an integrable 1-form. We shall take advantage of this fact and use the theory of foliations in discussing the geometrical structure underlying complete and partial integrability. Techniques for finding Poisson structures are presented and applied to various examples such as the Halphen system which has been studied as the two monopole problem by Atiyah and Hitchin. We shall show that the Halphen system can be formulated in terms of aflat >S'L(2, R)- valued connection and belongs to a non-trivial Godbillon- Vey class. On the other hand, for the Euler top and a special case of 3- species Lotka-Volterra equations which are contained in the Halphen system as limiting cases, this structure degenerates into the form of globally integrable bi- Hamiltonian structures. The globally integrable bi-Hamiltonian case is a linear and the sl-z structure is a quadratic unfolding of an integrable 1-form in 3 + 1 dimensions. We shall show that the existence of a vector field compatible with the flow is a powerful tool in the investigation of Poisson structure and presentsome new techniques for incorporating arbitrary constants into the Poisson 1- form. This leads to some extensions, analoguous to q-extensions, of Poisson structure. We shall find that the Kermack-McKendrick model and some of its generalizations describing the spread of epidemics as well as the integrable cases of the Lorenz, Lotka-Volterra, May-Leonard and Maxwell-Bloch systems admit globally integrable bi-Hamiltonian structure. In the second part, we complete the discussion of the Hamiltonian structure of 2-component equations of hydrodynamic type by presenting the Hamiltonian operators for Euler's equation governing the motion of plane sound waves of finite amplitude and another quasi-linear second order wave equation. There exists a doubly infinite family of conserved Hamiltonians for the equations of gas dynamics which degenerate into one, namely the Benney sequence, for shallow water waves. We present further infinite sequences of conserved quantities for these equations. In the case of multi-component equations of hydrodynamic type, we show that Kodama's generalization of the shallow water equations admits bi-Hamiltonian structure. We present a simple way of constructing the second Hamiltonian operators for N-component equations admitting some scaling properties. Using dimensional analysis we are led to an Ansatz for both the Hamiltonian operator as well as the conserved quantities in terms of ratios of polynomials. The coefficients of these polynomials are determined from the Jacobi identities. The resulting bi-Hamiltonian structure of Kodama equations consists of generalization of the Cavalcante-McKean's work for the shallow water waves. The Kodama reduction of the dispersionless-Boussinesq equations and the Lax reduction of the Benney moment equations are shown to be equivalent by a symmetry transformation. They can be cast into the form of a triplet of conservation laws which enable us to recognize a non-trivial scaling symmetry. The choice of the Hamiltonian density for the second Hamiltonian structure is a crucial step and the analysis of recursion relations becomes necessary. The resulting bi-Hamiltonian structure generates three infinite sequences of conserved densities. n