An Integrable family of monge ampere equations and their multi-hamiltonian structure

Abstract

ÖZET MONGE- AMPERE DENKLEMLERİNİN ENTEGRE EDİLEBİLİR BİR AİLESİ VE BUNLARIN ÇOKLU HAMİLTONYEN YAPILARI Bahtiyar Özgür Sarıoğlu Matematik Bölümü Yüksek Lisans Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Yavuz Nutku 15 Haziran 1993 Bu tezde, Hamiltonyen yapılarım inceleyerek tamamen entegre edilebilir bir Monge-Ampere denklemleri ailesi bulduk. Varyasyonel formülasyondan başlayarak Dirac'm zorlamalar (constraints) teorisinin uygulanmasıyla birinci Hamiltonyen operatörünü inşa ettik. Daha sonra, ilk Hamiltonyen operatörüyle bağdaşacak (compatible olacak) ikinci bir Hamiltonyen operatörünün yeterince genel bir formu için Jacobi özdeşliklerini çözerek tamamen entegre edilebilir bir Monge-Ampere denklemleri sınıfını elde ettik. Üstelik, Chern, Levine ve Nirenberg kompleks homojen Monge-Ampere denkleminin çok kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisinde oynadığı ayrıcalıklı rolü çok önceden işaret etmişlerdi. Özellikle Semmes bu denklemin jeodesik- lerinin tanımladığı simplektik yapıya dikkati çekmişti. Sonsuz sayıda özgürlük derecesindeki dinamik sistemler çerçevesinde yaklaşım, bu problemin tamamen entegre edilebilir bir sistem olduğunu gösterdi. Bu örnek, entegre edilebilir sis temler teorisi için de yeni birçok özellikler taşıyor. Bu sistem, keyfi boyutlarda entegre edilebiliyor ve üstelik sonsuz sayıda simplektik yapı kabul ediyor. SonVI özellik, aslında sadece ikili- Hamiltonyen yapının yeterli olduğu Magri teoremi nin kullanımıyla entegre edilebilirliğin ispatında anahtar rol oynuyor.

ABSTRACT AN INTEGRABLE FAMILY OF MONGE- AMPERE EQUATIONS AND THEIR MULTI-HAMILTONIAN STRUCTURE Bahtiyar Özgür Sarıoğlu M.S. in Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yavuz Nutku June 15, 1993 We have identified a completely integrable family of Monge- Ampere equa tions through an examination of their Hamiltonian structure. Starting with a variational formulation of the Monge-Ampere equations we have constructed the first Hamiltonian operator through an application of Dirac's theory of con straints. The completely integrable class of Monge-Ampere equations are then obtained by solving the Jacobi identities for a sufficiently general form of the second Hamiltonian operator that is compatible with the first. Furthermore, Chern, Levine and Nirenberg have long ago pointed out the distinguished role that the complex homogeneous Monge-Ampere equation plays in the theory of functions of several complex variables. In particular Semmes has called attention to the symplectic structure of the geodesic flow defined by this equation. A new approach to this problem in the framework of dynamical systems ( with infinitely many degrees of freedom ) shows that it is a completely integrable system. This example exhibits several new features in the theory of integrable systems as well. Namely it is an integrable system in iiiIV arbitrary dimension and furthermore admits infinitely many symplectic struc tures. The latter is the key to a proof of integrability through Magri 's theorem which requires only bi-Hamiltonian structure.