Gazların termodinamik davranışlarında kuantum ölçek etkileri

Abstract

Özellikle yarı iletken teknolojisindeki ilerlemelere paralel olarak gelişen nano teknoloji bugün mikro ve nano ölçekte mekanik donanımların ve sistemlerin yapımını da olanaklı hale getirmiştir. Nano ölçekte mekanik yapıların üretilebilir hale gelmesi ve mikro/nano ölçekte türbinler, pompalar, karıştırıcılar, ısı değiştiricileri, valfler vb. donanımların gerçekleştirilmeye başlamasıyla birlikte bu ölçekte gazların termodinamik özelliklerinin ne şekilde değiştiği, nasıl modellenebileceği, bu değişimlerden nasıl yararlanabileceği, olası yeni davranışlara dayalı yeni cihazların/teknolojilerin nasıl geliştirilebileceği gibi sorular da gündeme gelmeye başlamıştır. Bu çerçevede gazların termodinamik davranışları üzerinde kuantum ölçek etkilerinin araştırılması da göreceli olarak yeni ve güncel bir konuyu oluşturmaktadır. Bu nedenle mikro/nano ölçekte gazların termodinamiği konusu yarı iletkenlere göre daha yeni bir çalışma alanını oluşturmakta ve enerji teknolojilerinden savunma teknolojilerine kadar birçok alanda uygulama potansiyelini barındırmaktadır.Nano ölçekte gazların termodinamik özellikleri makro ölçektekinden farklılık gösterir. Bu farklılığın nedenlerinden biri olan kuantum ölçek etkisi; sistemin karakteristik boyutu (L=V/A, V:hacim, A:yüzey alanı) yanında, parçacıkların termal de Broglie dalga boyunun ( ) ihmal edilemediği durumlarda önem kazanır. Böyle bir durumda, parçacıkların enerji değerlerine ilişkin süreklilik yaklaşımı da geçerliliğini yitirir ve kesiklilik, sistemin davranışlarında özellikle nano ölçekte belirgin hale gelen kuantum ölçek etkilerinin ortaya çıkmasına yol açar. Kuantum ölçek etkileri, termodinamik hal fonksiyonlarını sistemin geometri (şekil) ve ölçeğine bağımlı hale getirerek, makro ölçekte karşılaşılmayan yeni ve ilginç davranışlara yol açar. Bunların arasında anizotropik gaz basıncı, ölçek ve geometri farkından kaynaklanan gaz difüzyonu, termoelektrik etkilere benzer termoölçek etkilerinin ortaya çıkması ve kütleye bağımlı büyüklüklerin (extensive quantities) toplanabilirlik (additivity) özelliğinin ortadan kalkması sayılabilir.Literatürde gazların termodinamik özelliklerinin tutuklandıkları domenin şekil ve ölçeğine olan bağımlılığı sadece global özelliklerle sınırlı olarak son yıllarda incelenmeye başlanmıştır. Global termodinamik özellikler üzerindeki kuantum ölçek etkileri ise literatürde Schrödinger denkleminin analitik çözümünün mümkün olabildiği dikdörtgen, silindir ve küresel tek bölgeli basit geometriler için incelenmiş olup çalışmalar Maxwell-Boltzmann istatistiğine uyan klasik ideal gazlarla sınırlı bulunmaktadır.Öte yandan gerçek sistemlerde tek bölgeli geometrik yapılar yerine çoğunlukla çok bölgeli geometrik yapılarla karşılaşılmaktadır. Hem global termodinamik özelliklerdeki şekil ve ölçek bağımlılığının fiziksel mekanizmalarının detaylı olarak anlaşılabilmesi için hem de denge dışı termodinamikte yaygın olarak kullanılan yerel denge varsayımına dayalı modeller için yerel termodinamik özelliklerin de incelenmesi ayrıca önem taşımaktadır. Bunun yanı sıra, düşük sıcaklıklarda parçacıkların termal de Broglie dalga boyunun büyümesi nedeniyle kuantum ölçek etkilerinin önemi artmakta ve buna bağlı olarak çalışmaya konu olan geometri ve ölçek bağımlılığı şiddetlenmektedir. Düşük sıcaklık koşullarında önemi daha da artan bu bağımlılığın incelenebilmesi için Maxwell-Boltzmann istatistiği yerine Bose-Einstein ve Fermi-Dirac istatistiklerine dayanan modellerin kullanılması gerekmektedir.Bu tez çalışmasının temel amacı; nano ölçekte tutuklanmış gazların global ve yerel termodinamik büyüklükleri üzerinde kuantum ölçek etkilerinin incelenebileceği bir model geliştirerek, termodinamik davranışlar üzerinde bu etkilerin hangi mekanizmayla ve hangi büyüklükte gerçekleştiğini belirlemektir. Ayrıca bu etkilerin, sıcaklık, ölçek, şekil vb. kontrol parametreleri ile nasıl ve ne kadar değiştiğini incelemek de tezin temel amacıdır. 105T086 no.lu uluslararası bir TÜBİTAK projesi kapsamında gerçekleşen bu tez çalışmasında elde edilen teorik öngörülerin deneysel doğrulaması için, Physikalisch Technische Bundesanstalt-Berlin (PTB-Berlin) ile işbirliği çerçevesinde bir deney planlanmış olup gereken nano ölçekli yapılar üretilmiştir.Bu tez çalışmasında, hal yoğunluğu için Weyl varsayımı kullanılarak keyfi bir domende tutuklanmış klasik ve kuantum gazlarının serbest enerjisi (Helmholtz) üzerinde kuantum ölçek etkileri genelleştirilerek global termodinamik özellikler türetilmiştir. Nano ölçekte, gazlarda klasik olarak gözlenmeyen yanal kuvvetlerin ortaya çıktığı gösterilmiştir. Gazların yerel yoğunluk dağılımı üzerinde kuantum ölçek etkileri öncelikle Schrödinger denkleminin analitik çözümlerinin mümkün olabildiği dikdörtgen, küre ve silindirik geometrilerde ele alınmıştır. Analitik çözümün mümkün olmadığı seçilmiş bazı geometrilerde tutuklanmış Maxwellian ve kuantum gazlarının yerel yoğunluk dağılımları sayısal çözümlemelerle incelenmiştir. Gazların yerel yoğunluğunun termodinamik denge durumunda dahi homojen olmadığı ve gaz yoğunluğunun domen sınırlarında sıfır değerine gittiği bir kuantum sınır tabakasının olduğu gösterilmiştir. Gerek yerel yoğunluk dağılımı ve gerekse bu tabakanın kalınlığı ile ilişkili analitik ifadeler Maxwellian, Fermi ve Bose gazları için ayrı ayrı elde edilmiştir. Maxwellian ve Bose gazlarından farklı olarak Fermi gazının yoğunluk dağılımında Friedel salınımlarının oluştuğu görülmüştür. Kuantum sınır tabakasının kuantum ölçek etkilerinin sebebi olduğu ve tüm domenlerde aynı gaz tipi için aynı kalınlık ifadesine sahip olduğu belirlenmiştir. Ayrıca parçacıklarla sınırlar arasındaki Lennard-Jones (LJ) tipi etkileşmelerin yerel yoğunluk üzerinde yol açtığı değişimler kuantum ölçek etkileri de göz önüne alınarak modellenmiş ve salt LJ etkileşmelerinin sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Elde edilen teorik sonuçların deneysel doğrulamasının yapılabilmesi amacıyla da bir deney önerisinde bulunulmuştur.

Nowadays nano technology, which is developing parallel to the progress in especially semiconductor technology, makes the production of mechanical systems and structures in micro/nano scale possible. Along with the production of mechanical structures in nano scale and realization of the devices like gas turbines, pumps, mixers, heat exchangers, valves etc., the following questions arise: how the thermodynamic properties of gases differ in this scale, how it can be modeled, how one can make use of these differences, how new devices and technologies can be developed in this scale. As a result, quantum size effects on thermodynamic behaviors of gases became a new and current research topic. Therefore, the subject of thermodynamics of gases in micro/nano scale is a new research area in comparison with the semiconductors and it has many application potentials from energy technologies to the military defense technologies.In nano scale, thermodynamic properties of gases differ from those in macro scales. One of the reasons of this difference is the quantum size effects, which become important when the thermal de Broglie wavelength of particles ( ) is not negligible in comparison with the characteristic length of the system (L=V/A, V volume, A surface area). In such a case, the continuum approximation for the energy eigenvalues of particles becomes invalid and the discrete nature of energy eigenvalues causes quantum size effects, which are noticeable in nano scale. Quantum size effects make the thermodynamic state functions depend on geometry (shape) and size of the system and it causes some new and interesting behaviors, which are not observed in macro scale. Some of them are anisotropic gas pressure, gas diffusion due to size and geometry difference, thermo-size effects like thermo-electric effects and the vanishing of the additivity property of extensive quantities.In literature, the dependence of thermodynamic properties of gases on the shape and size of the confinement domain have recently been examined for the global properties only. These studies consider rectangular, cylindrical and spherical geometries with a single domain, for which the analytical solution of the Schrödinger equation is possible, and they are limited with the classical ideal gases obeying Maxwell-Boltzmann statistics.On the other hand, in real systems, generally multi-domain geometric structures are used instead of single ones. Both to understand the physical mechanism of the shape and size dependence of global thermodynamic properties in detail and to use the models based on the local equilibrium assumption, which are often used in non-equilibrium thermodynamics, it is important to examine also the local thermodynamic properties. Furthermore, quantum size effects become more important at low temperatures due to longer thermal de Broglie wave length of particles and correspondingly the geometry and size dependence, which is the main subject of this thesis, becomes stronger. This dependence is more significant at low temperature conditions and it is necessary to use the models based on Fermi-Dirac and Bose-Einstein statistics instead of Maxwell-Boltzmann one.The main objective of this thesis is to develop a model that provides to examine quantum size effects on the global and local thermodynamic properties of gases confined in nano scale and to determine the mechanisms and the strength of these effects. Furthermore, it is also the aim of this thesis to examine the variation of these effects with the control parameters such as temperature, size, shape etc. For the verification of the theoretical predictions of this thesis, which is a part of an international TUBITAK research project with the contract number 105T086, an experiment has been planned by collaboration with Physikalisch Technische Bundesanstalt-Berlin (PTB-Berlin) and the required nano structures have already been produced.In this thesis, quantum size effects on free energy of classical and quantum gases confined in a domain of arbitrary shape are generalized by considering Weyl?s conjecture for density of states and the global thermodynamic properties are derived. In nano scale, it is shown that gases can have the lateral forces which can not be classically observed. Quantum size effects on local density of gases are considered for rectangular, spherical and cylindrical geometries for which the Schrödinger equation can be solved analytically. Local density distributions of Maxwellian and quantum gases confined in some special geometry are examined by numerical solutions. It is shown that local density of gases is not homogenous even at thermodynamic equilibrium and density goes to zero value within a quantum boundary layer near to the boundaries. Analytical expressions for both density distribution and the thickness of this boundary layer are given for Maxwellian, Fermi and Bose gases. It is seen that there is a Friedel-like oscillations in density of Fermi gas different than those in Maxwellian and Bose gases. It is determined that the quantum boundary layer is the origin of quantum size effects and it has the same thickness for whole domains for the same type of gas. Furthermore, the influence of Lennard-Jones (LJ) type particle-boundary interactions on the local density is calculated by considering the quantum size effects and the results are compared with the results of pure LJ interactions. An experimental setup is suggested to verify the predictions of the theoretical results.